Resolver la inecuación 7x − 15 ≥ 4x + 6.

Step-by-step solution

1. 1

   Agrupar los términos en x del lado con el coeficiente mayor. Restar $4x$ en ambos lados. La resta nunca cambia el sentido de una desigualdad, y eliminar el coeficiente menor deja positivo lo que queda:

   $7x-15-4x\ge 4x+6-4x\qquad\Longrightarrow\qquad 3x-15\ge6$

2. 2

   Pasar la constante al otro lado. Sumar $15$ en ambos lados:

   $3x\ge21$

3. 3

   Dividir entre 3 y notar por qué nada se invierte. El divisor $3$ es positivo, así que el $\ge$ se conserva intacto:

   $x\ge7$

   Si el paso anterior hubiera dejado $-3x$, dividir entre $-3$ habría invertido el signo — que es justamente lo que el paso 1 se encargó de evitar.

4. 4

   Revisar la frontera. En $x=7$: la izquierda $=49-15=34$ y la derecha $=28+6=34$ — son iguales, así que la frontera cumple el $\ge$ no estricto y queda incluida.

5. 5

   Probar un punto a cada lado. En $x=10$ (dentro): $70-15=55$ frente a $40+6=46$, y $55\ge46$ ✓. En $x=0$ (fuera): $-15$ frente a $6$, y $-15\ge6$ es falso ✓. Así que el conjunto solución es exactamente $[7,\infty)$.

6. 6

   Verificar con un barrido. Al comparar ambos lados con fracciones exactas en $4001$ puntos de $[-20,20]$, la desigualdad se cumple precisamente en los puntos con $x\ge7$ ✓.