Factoriza por completo la expresión 75a⁶ − 147b¹⁶.

Step-by-step solution

1. 1

   Saca siempre primero el máximo factor común. Tal como está escrita, ni $75a^6$ ni $147b^{16}$ es un cuadrado perfecto, así que el patrón de diferencia de cuadrados todavía no se puede aplicar. Factoriza los coeficientes:

   $75=3\cdot 25,\qquad 147=3\cdot 49$

   Las variables no comparten nada — $a^6$ y $b^{16}$ no tienen ninguna letra en común — así que el factor común es solo el número $3$:

   $75a^6-147b^{16}=3\left(25a^6-49b^{16}\right)$

2. 2

   Revisa si cada término de dentro del paréntesis es un cuadrado perfecto. Para esto servía el paso del factor común. Un monomio es un cuadrado perfecto cuando su coeficiente es un cuadrado y sus exponentes son pares:

   $25a^6=(5a^3)^2\qquad\text{ya que } 5^2=25 \text{ y } (a^3)^2=a^6$

   $49b^{16}=(7b^8)^2\qquad\text{ya que } 7^2=49 \text{ y } (b^8)^2=b^{16}$

   Partir el exponente por la mitad es todo el truco: $6/2=3$ y $16/2=8$.

3. 3

   Aplica la identidad de la diferencia de cuadrados. Con $u=5a^3$ y $v=7b^8$,

   $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$

   da

   $25a^6-49b^{16}=(5a^3-7b^8)(5a^3+7b^8)$

4. 4

   Vuelve a montarlo con el factor común que habías apartado. No pierdas el $3$: es, con diferencia, el descuido más frecuente en este tipo de ejercicio:

   $75a^6-147b^{16}=3(5a^3-7b^8)(5a^3+7b^8)$

5. 5

   Confirma que nada se factoriza más y luego comprueba. Una suma de cuadrados como $5a^3+7b^8$ nunca se factoriza sobre los reales, y $5a^3-7b^8$ no es una diferencia de cuadrados porque $5$ y $7$ no son cuadrados perfectos y el exponente $3$ es impar. Para ir sobre seguro, desarrolla la respuesta de vuelta:

   $3\left[(5a^3)^2-(7b^8)^2\right]=3\left(25a^6-49b^{16}\right)=75a^6-147b^{16}$

   que coincide con la expresión original.