Descompón (2x - 1)/(x - 1)² en fracciones parciales.

Step-by-step solution

1. 1

   Elige la plantilla que exige un factor repetido. El denominador es el único factor lineal $(x-1)$ elevado a la potencia $2$, así que la descomposición necesita un término para cada potencia desde $1$ hasta $2$:

   $\frac{2x-1}{(x-1)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}$

   Usar solo el término con $(x-1)^2$ deja una única incógnita para un numerador de grado 1, cosa que en general no puede funcionar.

2. 2

   Quita los denominadores. Multiplicando ambos miembros por $(x-1)^2$:

   $2x-1=A(x-1)+B$

3. 3

   Desarrolla y agrupa por potencias de $x$.

   $2x-1=Ax+(B-A)$

4. 4

   Iguala los coeficientes. Igualar los términos en $x$ da $A=2$; igualar los términos independientes da $B-A=-1$, de modo que

   $B=A-1=1$

5. 5

   Contrasta con una sustitución rápida. Poner $x=1$ en $2x-1=A(x-1)+B$ elimina de inmediato el término con $A$ y da $B=2(1)-1=1$ ✓ - una confirmación independiente muy útil del método de los coeficientes.

6. 6

   Enuncia el resultado y verifícalo numéricamente.

   $\frac{2x-1}{(x-1)^2}=\frac{2}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2},\qquad x\neq 1$

   En $x=3$: izquierda $=\tfrac{5}{4}=1.25$, derecha $=\tfrac{2}{2}+\tfrac{1}{4}=1.25$ ✓. En $x=0.5$: izquierda $=0$, derecha $=-4+4=0$ ✓.