Factoriza por completo x²(x − y) + (y − x).

Step-by-step solution

1. 1

   Fíjate en que los dos paréntesis casi coinciden. La expresión contiene $(x-y)$ y $(y-x)$: no son idénticos, sino opuestos. Este es el obstáculo típico al factorizar por agrupación, y se resuelve con un solo cambio de signo, no desarrollándolo todo.

2. 2

   Cambia el signo del segundo paréntesis. Como

   $y-x=-(x-y)$

   la expresión se convierte en

   $x^2(x-y)-(x-y)$

   Ahora los dos términos comparten el mismo factor $(x-y)$.

3. 3

   Saca el paréntesis común como factor. Escribir el segundo término como $1\cdot(x-y)$ hace explícito el coeficiente:

   $x^2(x-y)-1(x-y)=(x-y)\left(x^2-1\right)$

4. 4

   Reconoce la diferencia de cuadrados. $x^2-1=x^2-1^2$, así que por $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

   $x^2-1=(x-1)(x+1)$

   Dejar la respuesta como $(x-y)(x^2-1)$ sería una factorización incompleta.

5. 5

   Escribe la factorización completa.

   $x^2(x-y)+(y-x)=(x-y)(x-1)(x+1)$

   Son tres factores lineales, así que la expresión se anula exactamente cuando $x=y$, $x=1$ o $x=-1$.

6. 6

   Verifica con números y desarrollando. Al probar $60$ pares aleatorios $(x,y)$ en $[-4,4]$ hay coincidencia con precisión de máquina en todos los puntos ✓. Como comprobación puntual en $x=3,y=1$: la expresión original vale $9(2)+(1-3)=18-2=16$, y la forma factorizada da $(2)(2)(4)=16$ ✓.