La función f se define por f(x) = ax^2 + bx + c, donde a, b y c son constantes. La ecuación f(x) = 0 tiene las soluciones x = 1 y x = -7. Si a es un entero mayor que 1, entonces a + b es mayor o igual que n para toda función f de este tipo. ¿Cuál es el mayor valor posible de n?

Step-by-step solution

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   Convertir las dos raíces en una forma factorizada. Una cuadrática queda determinada por sus raíces salvo un factor de escala. Como $f(1)=0$ y $f(-7)=0$, los factores $(x-1)$ y $(x+7)$ dividen a $f$, de modo que

   $f(x)=a(x-1)(x+7)$

   para alguna constante $a$ — y ese $a$ es el mismo coeficiente principal que en $ax^{2}+bx+c$, porque el producto $(x-1)(x+7)$ es mónico.

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   Desarrollar para leer $b$ en función de $a$.

   $f(x)=a\left(x^{2}+6x-7\right)=ax^{2}+6ax-7a,$

   así que al igualar coeficientes se obtiene $b=6a$ y $c=-7a$. La única incógnita $a$ controla ahora todo.

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   Expresar la cantidad que se está acotando.

   $a+b=a+6a=7a.$

   Así que la pregunta "¿cuán grande puede ser $n$ si $a+b\ge n$ se cumple siempre?" es en realidad "¿cuán pequeño puede llegar a ser $7a$?"

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   Minimizar sobre los valores permitidos de $a$. La restricción es que $a$ sea un entero mayor que 1, así que los valores posibles son $a=2,3,4,\dots$ y el menor es $a=2$. (Nótese que $a\ne 0$ es automático aquí: una cuadrática necesita coeficiente principal no nulo.) El menor valor de $a+b$ es por tanto

   $7(2)=14.$

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   Convertir el mínimo en la respuesta. La desigualdad $a+b\ge n$ debe cumplirse para toda función $f$ permitida, así que $n$ puede ser a lo sumo el menor valor que llega a tomar $a+b$. Ese valor mínimo, $14$, se alcanza (en $a=2$, con $f(x)=2x^{2}+12x-14$), así que $n=14$ funciona y nada mayor lo hace:

   $n_{\max}=14.$