Resolver la ecuación 8x² = 16x.

Step-by-step solution

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   Resistir la tentación de dividir ambos lados entre $x$. Dividir da $8x=16$ y por tanto $x=2$, pero pierde la solución $x=0$, porque dividir entre $x$ supone en silencio que $x\neq0$. Dividir entre una cantidad que podría ser cero nunca es un movimiento seguro; factorizar sí lo es.

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   Pasar todo a un lado. Restar $16x$ en ambos lados para que el lado derecho quede en cero, que es la forma exigida por la propiedad del producto nulo:

   $8x^{2}-16x=0$

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   Sacar el máximo factor común. Los términos comparten el $8$ y una $x$, así que el factor común máximo es $8x$:

   $8x(x-2)=0$

   Se comprueba desarrollando: $8x\cdot x-8x\cdot2=8x^{2}-16x$ ✓.

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   Aplicar la propiedad del producto nulo. Un producto vale cero solo si alguno de sus factores es cero:

   $8x=0\quad\Longrightarrow\quad x=0,\qquad x-2=0\quad\Longrightarrow\quad x=2$

   La constante $8$ nunca puede ser cero, así que no aporta ninguna raíz: solo lo hacen la $x$ y el $(x-2)$.

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   Verificar ambas raíces en la ecuación original. En $x=0$: izquierda $8(0)=0$, derecha $16(0)=0$ ✓. En $x=2$: izquierda $8(4)=32$, derecha $16(2)=32$ ✓. Las dos cuadran, lo que confirma que aquí la cuadrática sí tiene su cupo completo de dos raíces.

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   Anotar la lección general. Toda cuadrática sin término independiente, $ax^{2}+bx=0$, se factoriza como $x(ax+b)=0$ y por tanto siempre tiene $x=0$ como una de sus raíces, con la otra en $x=-b/a$. Aquí $-(-16)/8=2$ ✓.