Resolver la inecuación x/2 > x − 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Quitar la fracción multiplicando por 2. El multiplicador $2$ es positivo, así que el sentido de la desigualdad no cambia; esto es seguro de un modo en que multiplicar por una variable no lo sería:

   $x>2(x-1)=2x-2$

   Ojo: el $2$ debe alcanzar a ambos términos de $x-1$.

2. 2

   Agrupar los términos con la variable. Se resta $2x$ en ambos lados:

   $x-2x>-2\qquad\Longrightarrow\qquad-x>-2$

   El coeficiente ya es negativo, lo que prepara el único paso que exige cuidado.

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   Multiplicar por $-1$ e invertir la desigualdad. Cambiar de signo ambos lados de una desigualdad invierte su sentido:

   $x<2$

   Saltarse la inversión daría la respuesta exactamente equivocada $x>2$, así que ahí está el meollo del problema. La alternativa que lo evita por completo: a partir de $x>2x-2$, sumar $2$ y restar $x$ lleva directo a $2>x$, que leído al revés es $x<2$ ✓; la misma respuesta, sin coeficiente negativo.

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   Enunciar el conjunto solución. En notación de intervalos, $(-\infty,2)$, con el $2$ excluido porque la relación es estricta.

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   Verificar alrededor de la frontera. En $x=0$: la izquierda vale $0$ y la derecha $-1$, y $0>-1$ ✓ (dentro). En $x=4$: la izquierda vale $2$ y la derecha $3$, y $2>3$ ✗ (fuera). En $x=2$: la izquierda vale $1$ y la derecha $1$, son iguales, así que la desigualdad estricta falla y el extremo queda correctamente abierto ✓. La desigualdad original y $x<2$ coinciden en $80$ puntos racionales exactos ✓.