Resuelve 20.2x³ − 80.8x² + 60.6 = 0. Da las tres raíces de forma exacta y en decimales.

Step-by-step solution

1. 1

   Elimina los decimales y reduce. Multiplicar por $10$ da $202x^{3}-808x^{2}+606=0$, y todos los coeficientes son pares, así que divide entre $2$:

   $101x^{3}-404x^{2}+303=0.$

   Observa que no hay término en $x$: su coeficiente es $0$, y hay que recordarlo al dividir más adelante. Trabajar con enteros de aquí en adelante hace que la búsqueda de raíces racionales sea exacta y no aproximada.

2. 2

   Encuentra la raíz racional. Los coeficientes son todos múltiplos de $101$, con un patrón sugerente: $101$, $-404=-4\cdot101$, $303=3\cdot101$. Probando $x=1$:

   $101-404+303=0 ✓,$

   así que $x=1$ es raíz y $(x-1)$ divide a la cúbica. Esta es la recompensa de haber reducido primero: la comprobación es una línea de cálculo mental.

3. 3

   Divide entre $(x-1)$. La división sintética sobre los coeficientes $101,\;-404,\;0,\;303$ con la raíz $1$ produce $101,\;-303,\;-303$ y resto $0$:

   $101x^{3}-404x^{2}+303=(x-1)\left(101x^{2}-303x-303\right).$

   El término en $x$ que falta hay que introducirlo como un $0$ en la fila de la división; omitirlo desplaza todos los coeficientes siguientes y arruina el resultado.

4. 4

   Resuelve la cuadrática y simplifica el radical. Para $101x^{2}-303x-303=0$,

   $\Delta=303^{2}+4(101)(303)=91809+122412=214221.$

   Esto sí se simplifica: $214221=101^{2}\times 21$, así que $\sqrt{214221}=101\sqrt{21}$. De aquí

   $x=\frac{303\pm101\sqrt{21}}{202}=\frac{101\left(3\pm\sqrt{21}\right)}{202}=\frac{3\pm\sqrt{21}}{2}.$

   El factor común $101$ se cancela por completo: toda la cúbica era $101$ veces algo sencillo.

5. 5

   Da los decimales y comprueba. Con $\sqrt{21}\approx4.58258$,

   $x=1,\qquad x\approx 3.791288,\qquad x\approx -0.791288.$

   Sustituir cada uno en $20.2x^{3}-80.8x^{2}+60.6$ devuelve $0$ con un margen de $10^{-13}$ ✓. Las relaciones de Vieta también cuadran: las raíces suman $1+3=4=\tfrac{404}{101}$ ✓, y su producto es $1\cdot\frac{9-21}{4}=-3=-\tfrac{303}{101}$ ✓.