Resolver la ecuación x² − 4x + 3 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Intenta factorizar antes de usar la fórmula general. Para una cuadrática mónica, busca dos números cuyo producto sea el término independiente $3$ y cuya suma sea el coeficiente central $-4$. Los signos guían la búsqueda: producto positivo con suma negativa significa que los dos números son negativos.

2. 2

   Encuentra la pareja. La única pareja de factores negativos de $3$ es $(-1,-3)$, y funciona:

   $(-1)(-3)=3\ \checkmark\qquad -1+(-3)=-4\ \checkmark$

   de modo que

   $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$

3. 3

   Aplica la propiedad del producto nulo. Un producto de dos números reales es cero solo si al menos uno de los factores es cero:

   $(x-1)(x-3)=0\qquad\Longrightarrow\qquad x-1=0\ \text{ o }\ x-3=0$

   Este paso es válido únicamente porque el lado derecho es $0$: por eso lo primero es pasar todo a un lado.

4. 4

   Resuelve cada factor.

   $x=1\qquad\text{o}\qquad x=3$

5. 5

   Verifica ambas raíces. En $x=1$: $1-4+3=0$ ✓. En $x=3$: $9-12+3=0$ ✓. Vieta también cuadra: las raíces suman $4=-b/a$ y multiplican $3=c/a$ ✓.

6. 6

   Observa la gráfica. La parábola abre hacia arriba y corta el eje en $1$ y $3$, así que su vértice está en el punto medio $x=2$, donde $y=4-8+3=-1$: el valor mínimo. Eso también dice que $x^2-4x+3<0$ exactamente en $(1,3)$.