Demostrar que si una matriz cuadrada conmuta con toda matriz del mismo tamaño, entonces es un múltiplo escalar de la matriz identidad.

Step-by-step solution

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   Elegir las matrices de prueba adecuadas. En lugar de una $B$ arbitraria, se usan las matrices unidad $E_{ij}$ — la matriz que tiene un $1$ en la fila $i$, columna $j$, y $0$ en todo lo demás. Como $A$ conmuta con todo, conmuta con cada $E_{ij}$.

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   Calcular ambos productos. Escribiendo $A = (a_{kl})$:

   $AE_{ij} \text{ tiene la columna } i\text{-ésima de } A \text{ colocada en la columna } j$
   $E_{ij}A \text{ tiene la fila } j\text{-ésima de } A \text{ colocada en la fila } i$

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   Forzar que se anulen las entradas fuera de la diagonal. Al imponer $AE_{ij} = E_{ij}A$ y comparar entradas se obtiene $a_{ki} = 0$ para todo $k \ne i$. Como $i$ y $j$ eran arbitrarios, toda entrada de $A$ fuera de la diagonal es cero, así que $A$ es diagonal.

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   Forzar que coincidan las entradas de la diagonal. Al comparar las entradas restantes se obtiene $a_{ii} = a_{jj}$ para todos $i, j$. Por tanto, todas las entradas diagonales comparten un valor común $\lambda$.

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   Concluir. Una matriz diagonal cuyas entradas diagonales son todas iguales a $\lambda$ es exactamente $\lambda I_n$. (El recíproco es inmediato: $\lambda I$ conmuta con todo.) Esto dice que el centro del anillo de matrices $M_n(F)$ es precisamente el conjunto de las matrices escalares.