Divide x³ − 7x + 6 entre −2x + 1. Usa la división sintética teniendo en cuenta que el divisor no tiene coeficiente principal 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Reconoce por qué la división sintética directa todavía no se puede aplicar. El método está pensado para divisores de la forma $x-c$, con coeficiente principal exactamente $1$. Aquí el divisor es $-2x+1$, así que primero saca fuera el coeficiente principal:

   $-2x+1=-2\left(x-\tfrac{1}{2}\right)$

   Esa reescritura es todo el truco: divide entre la parte mónica $x-\tfrac12$ con la tabla y después ten en cuenta el factor $-2$.

2. 2

   Divide entre $x-\tfrac12$ con $c=\tfrac12$. Rellena con un cero el término $x^2$ que falta, con lo que los coeficientes son $1,\;0,\;-7,\;6$:

   $\begin{array}{r|rrrr}\tfrac12 & 1 & 0 & -7 & 6\\[2pt] & & \tfrac12 & \tfrac14 & -\tfrac{27}{8}\\ \hline & 1 & \tfrac12 & -\tfrac{27}{4} & \tfrac{21}{8}\end{array}$

   Así que $x^3-7x+6=\left(x-\tfrac12\right)\left(x^2+\tfrac12 x-\tfrac{27}{4}\right)+\tfrac{21}{8}$, y el resto concuerda con $f\!\left(\tfrac12\right)=\tfrac18-\tfrac72+6=\tfrac{21}{8}$.

3. 3

   Divide entre $-2$ el cociente, y solo el cociente. Como $x^3-7x+6=-2\left(x-\tfrac12\right)\cdot Q(x)+R$, el cociente respecto de $-2x+1$ es el cociente anterior dividido entre $-2$:

   $Q(x)=\frac{x^2+\tfrac12 x-\tfrac{27}{4}}{-2}=-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}x+\frac{27}{8}$

   El resto no se toca. Esta asimetría es la parte que más se falla: escalar el divisor escala el cociente de forma recíproca, pero deja el resto intacto, porque el resto es una constante ligada al punto $x=\tfrac12$.

4. 4

   Enuncia la división y observa que el resto es legítimo. Juntando las piezas,

   $x^3-7x+6=(-2x+1)\left(-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}x+\frac{27}{8}\right)+\frac{21}{8}$

   El resto $\tfrac{21}{8}$ tiene grado $0$, menor que el grado del divisor, así que la división está terminada.

5. 5

   Verifica desarrollando. Multiplica el miembro derecho término a término:

   $(-2x)\left(-\tfrac12 x^2-\tfrac14 x+\tfrac{27}{8}\right)=x^3+\tfrac12 x^2-\tfrac{27}{4}x$

   $(1)\left(-\tfrac12 x^2-\tfrac14 x+\tfrac{27}{8}\right)=-\tfrac12 x^2-\tfrac14 x+\tfrac{27}{8}$

   Al sumar, los términos en $x^2$ se cancelan y $-\tfrac{27}{4}x-\tfrac14 x=-7x$, con lo que queda $x^3-7x+\tfrac{27}{8}$; sumando el resto $\tfrac{21}{8}$ el término constante es $\tfrac{48}{8}=6$. Así que la identidad reproduce $x^3-7x+6\;\checkmark$.