Resuelve el sistema 5y + 2 + 2zx = 0, 5x + 5 + 2zy = 0, x² + y² = 1.

Step-by-step solution

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   Reconoce la estructura de Lagrange. Estas son exactamente las condiciones de estacionariedad para optimizar $f(x,y)=5xy+2x+5y$ sobre la circunferencia unitaria: $\nabla f+z\nabla g=0$ con $g=x^{2}+y^{2}-1$, y $z$ es el multiplicador. Saber esto predice cuatro soluciones (dos máximos/mínimos y dos puntos de tipo silla) y te dice que toda respuesta tiene que estar sobre la circunferencia.

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   Parametriza la restricción. Poner $x=\cos t$, $y=\sin t$ satisface automáticamente la tercera ecuación y convierte las dos primeras en

   $5\sin t+2+2z\cos t=0,\qquad 5\cos t+5+2z\sin t=0$

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   Elimina el multiplicador $z$. Multiplica la primera por $\sin t$, la segunda por $\cos t$, y resta; los términos $2z\sin t\cos t$ se cancelan:

   $5\sin^{2}t+2\sin t-5\cos^{2}t-5\cos t=0$

   Esta única ecuación en $t$ tiene exactamente cuatro raíces en $[0,2\pi)$, y de ahí sale el recuento de cuatro soluciones.

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   Lee las dos soluciones racionales. Dos raíces dan puntos reconocibles. En $(x,y)=\left(\tfrac35,\tfrac45\right)$ la primera ecuación da $4+2+2z\cdot\tfrac35=0$, así que $z=-5$; la segunda da $3+5+2(-5)\tfrac45=8-8=0$ ✓. En $(x,y)=(-1,0)$: la primera da $0+2+2z(-1)=0$, así que $z=1$, y la segunda da $-5+5+0=0$ ✓.

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   Halla las dos restantes, que llevan $\sqrt{11}$. Las otras dos raíces cumplen $20x^{2}+12x-7=0$ y $20y^{2}+24y+5=0$, lo que da

   $\left(x,y,z\right)=\left(\frac{-3+2\sqrt{11}}{10},\ \frac{-6-\sqrt{11}}{10},\ \frac{4+\sqrt{11}}{2}\right),\quad\left(\frac{-3-2\sqrt{11}}{10},\ \frac{-6+\sqrt{11}}{10},\ \frac{4-\sqrt{11}}{2}\right)$

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   Verifica cada candidato contra las tres ecuaciones, y sobre todo contra la restricción. Para la pareja con $\sqrt{11}$, $x^{2}+y^{2}=\dfrac{9-12\sqrt{11}+44}{100}+\dfrac{36+12\sqrt{11}+11}{100}=\dfrac{100}{100}=1$ ✓, y desarrollar las dos primeras ecuaciones con $\left(\sqrt{11}\right)^{2}=11$ da exactamente $0$ en ambas. Esta comprobación es imprescindible: un conjunto de soluciones propuesto que no cumpla $x^{2}+y^{2}=1$ está mal por muy pulcro que parezca.