Resolver para x: x = 0.4 × 200 + 0.4x.

Step-by-step solution

1. 1

   Calcular el producto numérico. $0.4\times200=80$, así que

   $x=80+0.4x$

   La incógnita aparece ahora en ambos lados, que es la única dificultad real.

2. 2

   Ver por qué no basta con dividir. Leer la ecuación como $x=80/0.4=200$ ignoraría el $0.4x$ del lado derecho. Como $x$ está definida en parte en términos de sí misma, los términos en $x$ deben agruparse antes de cualquier división.

3. 3

   Pasar el 0.4x a la izquierda. Se resta $0.4x$ en ambos lados y se factoriza:

   $x-0.4x=80\qquad\Longrightarrow\qquad (1-0.4)x=80\qquad\Longrightarrow\qquad 0.6x=80$

   El coeficiente que opera es $1-0.4=0.6$, no $0.4$.

4. 4

   Dividir entre 0.6.

   $x=\frac{80}{0.6}=\frac{800}{6}=\frac{400}{3}=133.\overline{3}\approx133.33$

   La fracción exacta $\tfrac{400}{3}$ es la respuesta más limpia, ya que el decimal es periódico.

5. 5

   Comparar con los casos hermanos. La solución general de $x=c\cdot200+cx$ es $x=\dfrac{200c}{1-c}$: con $c=0.3$ da $\tfrac{600}{7}\approx85.71$, con $c=0.35$ da $\tfrac{1400}{13}\approx107.69$ y con $c=0.4$ da $\tfrac{400}{3}\approx133.33$. El crecimiento se acelera a medida que $c$ se acerca a $1$, valor en el que la ecuación ya no tiene solución.

6. 6

   Verificar por sustitución. Con $x=\tfrac{400}{3}$: el lado derecho vale $80+0.4\cdot\tfrac{400}{3}=80+\tfrac{160}{3}=\tfrac{240+160}{3}=\tfrac{400}{3}$ ✓, idéntico al lado izquierdo en aritmética exacta de fracciones.