Halla y simplifica el cociente incremental (f(x+h) − f(x))/h para f(x) = 7/(3x − 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Escribe f(x + h). Sustituyendo solo en el denominador:

   $f(x+h) = \frac{7}{3(x+h)-1} = \frac{7}{3x+3h-1}$

2. 2

   Plantea la fracción compuesta.

   $\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{1}{h}\left(\frac{7}{3x+3h-1} - \frac{7}{3x-1}\right)$

   La clave está en combinar la diferencia interior antes de dividir entre $h$; de lo contrario no se cancela nada.

3. 3

   Combina sobre un común denominador.

   $\frac{7(3x-1) - 7(3x+3h-1)}{(3x+3h-1)(3x-1)}$

   El numerador se desarrolla como $21x - 7 - 21x - 21h + 7 = -21h$: todos los términos salvo el $-21h$ se cancelan, y ese es justamente el sentido de la maniobra.

4. 4

   Divide entre h y cancela.

   $\frac{-21h}{h\,(3x+3h-1)(3x-1)} = \frac{-21}{(3x+3h-1)(3x-1)}$

5. 5

   Verifica y toma el límite. En $x = 1.3$, $h = 0.07$: el cociente directo es $-2.3284178$, y la fórmula da $\tfrac{-21}{(3.11)(2.9)} = -2.3284178$. Cuando $h \to 0$ la expresión tiende a $\tfrac{-21}{(3x-1)^2}$, que es en efecto $\tfrac{d}{dx}\tfrac{7}{3x-1}$.