Resuelve la inecuación (2x − 1)/3 > (3x − 5)/4 y escribe el conjunto solución.

Step-by-step solution

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   Eliminar las fracciones con el mínimo común denominador. Los denominadores son $3$ y $4$, así que el mínimo común denominador es $12$. Multiplicar los dos miembros de una desigualdad por un número positivo conserva el sentido, y $12>0$, de modo que nada se invierte:

   $12\cdot\frac{2x-1}{3}>12\cdot\frac{3x-5}{4}\;\Longrightarrow\;4(2x-1)>3(3x-5).$

   Este único movimiento es la razón de que las inecuaciones con fracciones no sean más difíciles que las enteras: primero se quitan los denominadores, antes de tocar los términos en $x$.

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   Distribuir en ambos miembros. Desarrollando cada producto:

   $4(2x-1)=8x-4,\qquad 3(3x-5)=9x-15,$

   la desigualdad queda

   $8x-4>9x-15.$

   Atención al signo $-3\times(-5)=+15$: perder ese menos es el error más frecuente de este paso, y desplaza la frontera final de $11$ a $-19$.

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   Reunir los términos en $x$ en el miembro que deja el coeficiente positivo. Restando $8x$ en ambos miembros, la $x$ queda a la derecha:

   $-4>x-15.$

   También se podría restar $9x$ y obtener $-x-4>-15$, pero entonces habría que dividir entre $-1$ y acordarse de invertir la desigualdad. Mover el coeficiente menor evita esa trampa por completo.

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   Despejar $x$ y leer la solución. Sumando $15$ en ambos miembros:

   $11>x,\qquad\text{es decir}\qquad x<11.$

   En notación de intervalos, el conjunto solución es $(-\infty,11)$. Observa que el propio $11$ queda excluido porque la desigualdad original es estricta.

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   Probar un valor dentro y otro fuera. En $x=10.9$: miembro izquierdo $=\frac{20.8}{3}\approx 6.933$, miembro derecho $=\frac{27.7}{4}=6.925$, y $6.933>6.925$ ✓. En $x=11.1$: izquierda $\approx 7.067$, derecha $=7.075$, así que la desigualdad falla ✓. La frontera $x=11$ hace que los dos miembros valgan $7$, lo que confirma que es exactamente el punto de corte.