La función F(x) = 2|x + 6| − 1 se traslada 7 unidades hacia abajo y 1 unidad hacia la derecha. Escribe la ecuación de la nueva función.

Step-by-step solution

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   Localiza el vértice de partida. Una gráfica de valor absoluto $a|x-p|+q$ tiene su esquina en $(p,q)$. Escribir $2|x+6|-1$ como $2|x-(-6)|+(-1)$ muestra que el vértice está en $(-6,-1)$ con una dilatación vertical de factor $2$. Seguir el vértice es la forma más rápida de comprobar la respuesta final.

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   Aplica el desplazamiento horizontal y fíjate en el sentido. Mover una gráfica $1$ unidad hacia la derecha sustituye cada $x$ por $x-1$: es el paso contraintuitivo, porque el signo de dentro parece del revés:

   $2\bigl|(x-1)+6\bigr|-1=2|x+5|-1.$

   El vértice pasa de $(-6,-1)$ a $(-5,-1)$, una unidad a la derecha, lo que confirma que la sustitución se hizo en el sentido correcto.

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   Aplica el desplazamiento vertical. Bajar $7$ unidades resta $7$ a toda la función: esta transformación actúa fuera del valor absoluto y sí se comporta como uno espera:

   $2|x+5|-1-7=2|x+5|-8.$

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   Confirma con el vértice. La esquina está ahora en $(-5,-8)$: una unidad a la derecha y siete hacia abajo respecto de $(-6,-1)$, exactamente lo pedido. El factor de dilatación $2$ queda intacto, ya que las traslaciones nunca cambian la forma ni las pendientes de las dos semirrectas, que siguen siendo $\pm2$.

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   Comprueba con un punto. En la gráfica original, $F(-6)=2(0)-1=-1$. El punto correspondiente de la imagen debería ser $(-6+1,\,-1-7)=(-5,-8)$. Evaluando la respuesta: $2|-5+5|-8=-8$ ✓. Una segunda comprobación en $x=-3$: la respuesta da $2(2)-8=-4$, y el punto de partida es $x=-4$ con $F(-4)=2(2)-1=3$, y $3-7=-4$ ✓.