Factoriza x² − 4x + 3 y usa la factorización para resolver x² − 4x + 3 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Plantea la forma objetivo. Una cuadrática mónica que se factoriza sobre los enteros puede escribirse como

   $x^2 - 4x + 3 = (x - a)(x - b)$

   Al desarrollar el lado derecho se obtiene $x^2 - (a+b)x + ab$, así que las dos incógnitas quedan fijadas por dos condiciones en lugar de adivinarse.

2. 2

   Lee las condiciones de suma y producto. Comparando coeficientes:

   $a + b = 4, \qquad ab = 3$

   De forma equivalente, en la forma $x^2 + bx + c$ hacen falta dos números cuyo producto sea $c = +3$ y cuya suma sea $-4$; esos números son $-1$ y $-3$.

3. 3

   Usa los signos para acotar rápido la búsqueda. El producto $+3$ es positivo, así que los dos números comparten el signo; la suma $-4$ es negativa, así que ambos deben ser negativos. El único par de factores negativos de $3$ es $(-1, -3)$, y en efecto $(-1)(-3) = 3$ y $(-1) + (-3) = -4$. Por lo tanto

   $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$

4. 4

   Comprueba la factorización desarrollando.

   $(x - 1)(x - 3) = x^2 - 3x - x + 3 = x^2 - 4x + 3 \ \checkmark$

   El coeficiente central sale de los dos términos cruzados $-3x$ y $-x$; este desarrollo es justo lo que permite responder a la pregunta «¿de dónde salió eso?».

5. 5

   Aplica la propiedad del producto nulo. Un producto vale cero solo cuando alguno de sus factores es cero:

   $(x - 1)(x - 3) = 0 \ \Longrightarrow \ x - 1 = 0 \ \text{o} \ x - 3 = 0$

   $x = 1 \quad \text{o} \quad x = 3$

   Al sustituir de vuelta: $1 - 4 + 3 = 0$ y $9 - 12 + 3 = 0$. La fórmula general da el mismo par, $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$.