Hallar el dominio de la función f(x) = (2x + 9)/(x³ + 3x² − x − 3). Dar la respuesta en notación de intervalos.

Step-by-step solution

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   Reducir el problema a hallar los ceros de la cúbica. Una función racional está definida en todo punto donde su denominador no se anula, así que el dominio es $\mathbb{R}$ menos las raíces de $x^{3}+3x^{2}-x-3$. El numerador $2x+9$ no restringe nada. Con cuatro términos y sin factor común, la agrupación es la herramienta natural, antes que el criterio de las raíces racionales.

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   Factorizar por agrupación. Se separan los dos primeros y los dos últimos términos y se extraen los factores evidentes:

   $x^{3}+3x^{2}-x-3=x^{2}(x+3)-1(x+3)=\left(x^{2}-1\right)(x+3)$

   La agrupación funciona precisamente porque ambos pares dejan el mismo factor $(x+3)$.

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   Terminar con la diferencia de cuadrados. Como $x^{2}-1=(x-1)(x+1)$, el denominador se factoriza por completo en piezas lineales:

   $x^{3}+3x^{2}-x-3=(x-1)(x+1)(x+3)$

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   Igualar cada factor a cero para enumerar los valores excluidos.

   $x-1=0\ \Rightarrow\ x=1,\qquad x+1=0\ \Rightarrow\ x=-1,\qquad x+3=0\ \Rightarrow\ x=-3$

   Ninguno de ellos anula también el numerador (allí $2x+9$ vale $11$, $7$ y $3$), así que los tres son asíntotas verticales auténticas, no huecos.

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   Armar el dominio en notación de intervalos. Al quitar tres puntos de la recta real quedan cuatro intervalos abiertos, escritos en orden creciente:

   $(-\infty,-3)\cup(-3,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty)$

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   Verificar la factorización numéricamente. Al evaluar $(x-1)(x+1)(x+3)-\left(x^{3}+3x^{2}-x-3\right)$ en $x=0,1,2,3$ se obtiene $0$ todas las veces, así que los tres valores excluidos son la lista completa.