Resolver para x: x(−5x + 250) = 2625.

Step-by-step solution

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   Reconoce la forma. Un producto como $x(-5x+250)$ es el modelo clásico de ingresos o de área: $x$ unidades a un precio que baja a medida que $x$ sube. Igualarlo a $2625$ pregunta qué dos cantidades producen ese objetivo, y hay que esperar dos respuestas, una a cada lado del máximo.

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   Desarrolla y pasa todo a un lado.

   $-5x^2+250x=2625\qquad\Longrightarrow\qquad -5x^2+250x-2625=0$

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   Divide entre -5 para dejar el coeficiente principal en 1. Este es el paso que convierte números feos en números factorizables. Dividir una ecuación (no una desigualdad) entre un negativo es inofensivo:

   $x^2-50x+525=0$

   Fíjate en que $250/(-5)=-50$ y $-2625/(-5)=+525$: los dos signos cambian.

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   Factoriza la cuadrática mónica. Busca dos números que multipliquen $+525$ y sumen $-50$; ambos deben ser negativos. Como $525=3\cdot5^2\cdot7$, las parejas candidatas son $(1,525),(3,175),(5,105),(7,75),(15,35),(21,25)$, y $15+35=50$:

   $x^2-50x+525=(x-15)(x-35)$

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   Aplica la propiedad del producto nulo.

   $x-15=0\Rightarrow x=15,\qquad x-35=0\Rightarrow x=35$

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   Verifica ambas en la ecuación original. En $x=15$: $15(-75+250)=15\times175=2625$ ✓. En $x=35$: $35(-175+250)=35\times75=2625$ ✓. Como control estructural, las raíces suman $50=-b/a$ y multiplican $525=c/a$ ✓, y su punto medio $25$ es donde la parábola alcanza su máximo, $25\times125=3125$, holgadamente por encima de $2625$, como debe ser para que existan dos soluciones.