Halla y simplifica el cociente incremental (f(x+h) − f(x))/h para f(x) = 5x² − 3x + 9.

Step-by-step solution

1. 1

   Sustituye x + h en la función. Reemplaza cada $x$, incluida la que está dentro del término elevado al cuadrado:

   $f(x+h) = 5(x+h)^2 - 3(x+h) + 9 = 5x^2 + 10xh + 5h^2 - 3x - 3h + 9$

   Desarrollar $(x+h)^2$ como $x^2 + 2xh + h^2$, y no como $x^2 + h^2$, es el paso que produce el término $10xh$.

2. 2

   Resta f(x). Todo término que no lleve $h$ debe cancelarse, lo que sirve de comprobación incorporada del desarrollo:

   $f(x+h) - f(x) = \left(5x^2 + 10xh + 5h^2 - 3x - 3h + 9\right) - \left(5x^2 - 3x + 9\right) = 10xh + 5h^2 - 3h$

   La constante $9$ y los dos términos que solo llevan $x$ desaparecen, como ocurre siempre.

3. 3

   Saca h como factor común del numerador.

   $10xh + 5h^2 - 3h = h\left(10x + 5h - 3\right)$

4. 4

   Cancela la h. Es legítimo porque el problema indica que $h \ne 0$:

   $\frac{h\left(10x + 5h - 3\right)}{h} = 10x + 5h - 3$

5. 5

   Comprueba numéricamente y conecta con la derivada. En $x = 1.3$, $h = 0.07$: el cociente directo $\tfrac{f(1.37) - f(1.3)}{0.07} = 10.35$, y la fórmula da $10(1.3) + 5(0.07) - 3 = 10.35$. Al hacer $h \to 0$ queda $10x - 3$, que es exactamente $f'(x)$.