Demuestre que una matriz de rango r se puede escribir como suma de r matrices de rango uno, pero no como suma de menos de r matrices de rango uno.

Step-by-step solution

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   Separe la afirmación en dos enunciados independientes. "Exactamente $r$ funciona" es una afirmación de existencia que necesita una construcción; "menos de $r$ falla" es una afirmación de imposibilidad que necesita una desigualdad. Las dos mitades usan herramientas completamente distintas, y ninguna implica la otra.

2. 2

   Construya una base del espacio columna. Como $\operatorname{rank}(A)=r$, el espacio columna de $A$ tiene dimensión $r$, de modo que $r$ columnas linealmente independientes $u_1,\dots,u_r$ de $A$ lo generan. Toda columna $a_j$ de $A$ es entonces una combinación

   $a_j=c_{1j}u_1+c_{2j}u_2+\cdots+c_{rj}u_r$

3. 3

   Empaquete las combinaciones como un producto de matrices. Reuniendo los $u_i$ en una matriz $m\times r$ llamada $U$ y los coeficientes en una matriz $r\times n$ llamada $C$, se obtiene la factorización de rango

   $A=UC$

   Esta es toda la construcción en forma comprimida: lo que queda es solamente leerla correctamente.

4. 4

   Desarrolle el producto como suma de productos exteriores. Escribiendo $v_i^{T}$ para la $i$-ésima fila de $C$, la multiplicación por bloques da

   $A=UC=\sum_{i=1}^{r}u_i v_i^{T}$

   En cada $u_iv_i^{T}$ toda columna es un múltiplo escalar de $u_i$, así que su espacio columna está generado por el único vector $u_i$ y $\operatorname{rank}(u_iv_i^{T})=1$. Con esto queda resuelta la primera mitad.

5. 5

   Invoque la subaditividad del rango para la segunda mitad. Para matrices cualesquiera, $\operatorname{rank}(B+C)\le\operatorname{rank}(B)+\operatorname{rank}(C)$, porque el espacio columna de $B+C$ está contenido en la suma de los dos espacios columna. Iterando,

   $\operatorname{rank}(B_1+\cdots+B_k)\le\sum_{i=1}^{k}\operatorname{rank}(B_i)$

6. 6

   Deduzca la contradicción. Suponga que $A=B_1+\cdots+B_k$ con $\operatorname{rank}(B_i)=1$ en cada sumando. Entonces

   $r=\operatorname{rank}(A)\le\underbrace{1+1+\cdots+1}_{k}=k$

   de modo que $k\ge r$; no puede existir ninguna descomposición con $k<r$. Junto con la construcción, el número mínimo de sumandos de rango uno es exactamente $r$. $\blacksquare$