Resuelve la ecuación (1 + x) elevado a la décima potencia menos 10.7347x igual a 1.

Step-by-step solution

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   Pásalo todo a un miembro y detecta la raíz gratuita. Define

   $f(x)=(1+x)^{10}-10.7347x-1$

   Entonces $f(0)=1-0-1=0$, así que $x=0$ es una solución exacta, sin necesidad de cálculo numérico. Las ecuaciones de esta forma (un factor de crecimiento elevado al número de periodos, menos un pago lineal) siempre tienen la raíz trivial, y la interesante es el otro corte.

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   Deriva para ver la forma de la curva.

   $f'(x)=10(1+x)^9-10.7347,\qquad f''(x)=90(1+x)^8>0\ \ (x>-1)$

   Como $f''>0$, $f$ es estrictamente convexa en $(-1,\infty)$, así que puede cortar el cero como mucho dos veces. Además $f'(0)=10-10.7347=-0.7347<0$: la curva sigue bajando cuando pasa por el origen.

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   Localiza el mínimo único. Resuelve $f'(x)=0$:

   $(1+x)^9=1.07347\quad\Rightarrow\quad x=1.07347^{1/9}-1=0.0079085$

   y el valor allí es $f(0.0079085)=-0.0029357$, genuinamente por debajo de cero. (Una cifra que se cita a menudo, $-0.000291$, para este mínimo es un orden de magnitud demasiado pequeña.)

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   Cuenta las raíces. En $(-1,\,0.0079085)$ la función decrece desde $f(-1^{+})=9.7347$ hasta $-0.0029357$, lo que da exactamente un corte: ese es $x=0$. En $(0.0079085,\infty)$ crece desde $-0.0029357$ hasta $+\infty$, lo que da exactamente uno más. Así que hay precisamente dos raíces reales y ninguna negativa ($f(-0.01)=+0.0117$ confirma el signo a la izquierda de $0$).

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   Acota y refina la segunda raíz. $f(0.015)=-0.00048$ y $f(0.016)=+0.00027$, así que la raíz está entre ambos. Bisecando o aplicando el método de Newton se obtiene

   $x=0.01565489$

   con ocho decimales, y no $0.015845$, donde $f=+1.5\times 10^{-4}$, todavía claramente positivo.

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   Verifica por sustitución directa. $(1.0156549)^{10}=1.16805066$, mientras que $1+10.7347(0.0156549)=1.16805066$. Ambos coinciden hasta ocho decimales, así que el conjunto solución es $x=0$ y $x\approx 0.0156549$.