Resuelve el sistema x + y = z, 9.5 − 25.33333x − 55z = 0 y 3.5 − 3y − 55z = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Pon las dos últimas ecuaciones en forma estándar. Pasando las constantes al miembro derecho:

   $25.33333x + 55z = 9.5, \qquad 3y + 55z = 3.5$

   Ahora ambas tienen las incógnitas a la izquierda, lo que hace la contabilidad de la eliminación mucho menos propensa a errores que trabajar con los signos mezclados tal como venían.

2. 2

   Elimina z usando la primera ecuación. Sustituyendo $z = x + y$ en cada una:

   $25.33333x + 55(x+y) = 9.5 \ \Longrightarrow \ 80.33333x + 55y = 9.5$

   $3y + 55(x+y) = 3.5 \ \Longrightarrow \ 55x + 58y = 3.5$

   Usar $z = x + y$ como sustitución y no como una tercera fila es lo que mantiene esto como un problema de $2\times 2$.

3. 3

   Resuelve el sistema 2×2. De la segunda ecuación, $x = \dfrac{3.5 - 58y}{55}$. Sustituyendo en la primera y multiplicando todo por $55$:

   $80.33333(3.5 - 58y) + 3025y = 522.5$

   $281.16666 - 4659.3331y + 3025y = 522.5 \ \Longrightarrow \ -1634.3331y = 241.33334$

4. 4

   Halla y, luego x y luego z.

   $y = \frac{241.33334}{-1634.3331} \approx -0.147665$

   $55x = 3.5 - 58(-0.147665) = 12.06457 \ \Longrightarrow \ x \approx 0.219356$

   $z = x + y \approx 0.219356 - 0.147665 = 0.071691$

   Arrastra seis cifras significativas en todo el cálculo: el coeficiente $1634.33$ es grande, así que redondear $y$ demasiado pronto se nota ya en la cuarta cifra de $x$.

5. 5

   Reconoce el decimal periódico para obtener una respuesta exacta. El coeficiente $25.33333$ es casi con seguridad $\tfrac{76}{3} = 25.\overline{3}$. Rehacer la eliminación con fracciones exactas da

   $x = \frac{2151}{9806}, \qquad y = -\frac{724}{4903}, \qquad z = \frac{703}{9806}$

   que valen $0.2193555$, $-0.1476647$ y $0.0716908$, coincidiendo con la solución decimal en seis cifras.

6. 6

   Comprueba las tres ecuaciones. Con $x = 0.219356$, $y = -0.147665$, $z = 0.071691$: $x + y = 0.071691 = z \ \checkmark$; $9.5 - 25.33333(0.219356) - 55(0.071691) = 9.5 - 5.5570 - 3.9430 \approx 0 \ \checkmark$; $3.5 - 3(-0.147665) - 55(0.071691) = 3.5 + 0.4430 - 3.9430 \approx 0 \ \checkmark$.