Factoriza 2x³ − x² − 5x − 2 por completo.

Step-by-step solution

1. 1

   Prueba primero con la agrupación y comprueba que falla. Emparejando queda $\left(2x^3-x^2\right)+(-5x-2)=x^2(2x-1)-(5x+2)$. Los dos paréntesis $(2x-1)$ y $(5x+2)$ son distintos, así que la agrupación no sirve aquí, y esa es la señal para pasar al teorema de la raíz racional.

2. 2

   Lista las candidatas a raíz racional. Una raíz racional $\tfrac{p}{q}$ necesita que $p\mid2$ (la constante) y $q\mid2$ (el coeficiente principal), así que las candidatas son

   $\pm1,\ \pm2,\ \pm\tfrac12$

   Las mitades aparecen justamente porque el coeficiente principal es $2$ y no $1$: un paso que suele omitirse.

3. 3

   Prueba las candidatas.

   $f(2)=2(8)-4-10-2=16-16=0\ \checkmark$

   así que $x=2$ es raíz y $(x-2)$ es un factor.

4. 4

   Divide entre (x − 2) con división sintética. Usando la raíz $2$ sobre los coeficientes $2,\ -1,\ -5,\ -2$:

   $2\ \to\ -1+4=3\ \to\ -5+6=1\ \to\ -2+2=0$

   Resto cero ✓, y el cociente es $2x^2+3x+1$:

   $2x^3-x^2-5x-2=(x-2)\left(2x^2+3x+1\right)$

5. 5

   Factoriza la cuadrática con el método AC. Necesitamos dos números con producto $2\times1=2$ y suma $3$: son $1$ y $2$. Descomponiendo y agrupando:

   $2x^2+2x+x+1=2x(x+1)+1(x+1)=(2x+1)(x+1)$

6. 6

   Escribe la factorización completa y las raíces.

   $2x^3-x^2-5x-2=(x-2)(2x+1)(x+1)$

   Las raíces son $x=2$, $x=-\tfrac12$ y $x=-1$; observa que $-\tfrac12$ es una de las candidatas fraccionarias, y por eso tenían que estar en la lista.

7. 7

   Verifica. Comparar la expresión original con el producto de los tres factores en todos los enteros de $-30$ a $29$ da coincidencia exacta ✓. Vieta también cuadra: las raíces suman $2-\tfrac12-1=\tfrac12=-b/a$ ✓ y su producto es $2\cdot\left(-\tfrac12\right)\cdot(-1)=1=-d/a$ ✓.