Desarrolla el producto (8y⁴ − 3y² + 3y³ − 8x²y − 5y + 3 − 8x) por 7y².

Step-by-step solution

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   Prepara la distribución y cuenta los términos. La propiedad distributiva dice que cada uno de los siete términos del paréntesis se multiplica por $7y^2$, así que la respuesta tendrá siete términos. Contar de entrada es una protección barata contra dejarse uno afuera — el error habitual con un paréntesis así de largo.

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   Recuerda las dos reglas de cada producto. Multiplica los coeficientes numéricos y suma los exponentes de cualquier variable compartida: $y^m\cdot y^2=y^{m+2}$. Un término sin ninguna $y$, como $3$ o $-8x$, simplemente gana un factor $y^2$. Los signos viajan con su término.

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   Multiplica las potencias puras de $y$.

   $8y^4\cdot 7y^2=56y^{6},\qquad 3y^3\cdot 7y^2=21y^{5},\qquad -3y^2\cdot 7y^2=-21y^{4},\qquad -5y\cdot 7y^2=-35y^{3}$

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   Multiplica los términos que además contienen $x$, junto con la constante. Los factores en $x$ quedan intactos porque $7y^2$ no tiene $x$:

   $-8x^2y\cdot 7y^2=-56x^2y^{3},\qquad -8x\cdot 7y^2=-56xy^{2},\qquad 3\cdot 7y^2=21y^{2}$

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   Reúne los siete productos en potencias decrecientes de $y$.

   $56y^6+21y^5-21y^4-56x^2y^3-35y^3+21y^2-56xy^2$

   Observa que $-56x^2y^3$ y $-35y^3$ no son términos semejantes (uno lleva $x^2$), y tampoco lo son $21y^2$ y $-56xy^2$, así que no se combina nada.

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   Comprueba con una sustitución numérica. En $x=1,y=1$ el paréntesis vale $8-3+3-8-5+3-8=-10$, así que el producto debería ser $-10\cdot 7=-70$. Al sumar los términos de la respuesta: $56+21-21-56-35+21-56=-70$. ✓