Factoriza x³ + x² + 2x + 1, o demuestra que no se factoriza sobre los racionales.

Step-by-step solution

1. 1

   Reduce la lista de candidatos. El coeficiente principal es $1$ y el término independiente es $1$, así que toda raíz racional $p/q$ cumple $p\mid 1$ y $q\mid 1$. Solo sobreviven dos candidatos:

   $x=1\quad\text{y}\quad x=-1$

2. 2

   Prueba los dos. Con $f(x)=x^3+x^2+2x+1$:

   $f(1)=1+1+2+1=5\neq 0$
   $f(-1)=-1+1-2+1=-1\neq 0$

   Ninguno es raíz, de modo que $f$ no tiene ningún factor lineal con coeficientes racionales.

3. 3

   Explica por qué eso zanja el caso de una cúbica. Toda factorización de un polinomio de grado 3 sobre un cuerpo debe incluir un factor de grado 1 (las únicas maneras de descomponer $3$ son $1+2$ o $1+1+1$). Descartados ya todos los factores lineales racionales, $f$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$.

4. 4

   Muestra por qué el agrupamiento también falla. El emparejamiento natural da

   $x^2(x+1)+1(2x+1)$

   y los paréntesis $(x+1)$ y $(2x+1)$ son distintos, así que no se puede extraer ningún binomio común. El agrupamiento solo funciona cuando los dos paréntesis coinciden, como ocurre en $x^3+x^2-x-1$.

5. 5

   Localiza numéricamente la única raíz real, para dejarlo completo. $f(-0.5)=0.125$ y $f(-0.6)=-0.056$, así que la raíz real está cerca de $x\approx-0.5698$; las otras dos raíces forman un par complejo conjugado. Al ser irracional, esa raíz no puede dar ningún factor racional $\checkmark$.