Descompón (x + 1)/(x − 1)² en fracciones parciales.

Step-by-step solution

1. 1

   Elige la plantilla correcta para un factor repetido. Un factor $(x-1)^2$ necesita un término para cada potencia hasta la multiplicidad, no solo para la más alta:

   $\frac{x+1}{(x-1)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}$

   Usar solo $\tfrac{B}{(x-1)^2}$ dejaría demasiadas pocas incógnitas para ajustar un numerador de grado 1.

2. 2

   Elimina los denominadores. Multiplica los dos miembros por $(x-1)^2$:

   $x+1=A(x-1)+B$

3. 3

   Desarrolla y agrupa por potencias de $x$.

   $x+1=Ax-A+B=Ax+(B-A)$

4. 4

   Iguala coeficientes. El coeficiente de $x$ da $A=1$; el término constante da $B-A=1$, de donde

   $B=1+A=2$

5. 5

   Escribe la descomposición y comprueba.

   $\frac{x+1}{(x-1)^2}=\frac{1}{x-1}+\frac{2}{(x-1)^2},\qquad x\neq 1$

   Al recombinar: $\tfrac{(x-1)+2}{(x-1)^2}=\tfrac{x+1}{(x-1)^2}$ $\checkmark$. Numéricamente en $x=3$: izquierda $=\tfrac44=1$, derecha $=\tfrac12+\tfrac24=1$ $\checkmark$.