Resolver 74x − 2x² = 690.

Step-by-step solution

1. 1

   Llevar a la forma estándar. Pasar todo a un lado para poder aplicar la maquinaria cuadrática:

   $-2x^2+74x-690=0$

2. 2

   Normalizar los coeficientes. Multiplicar por $-1$ para que el coeficiente principal quede positivo y luego dividir entre $2$:

   $2x^2-74x+690=0\qquad\Longrightarrow\qquad x^2-37x+345=0$

   Ambas operaciones son legítimas en una ecuación y dejan los números tan pequeños como es posible.

3. 3

   Buscar factores enteros y no encontrar ninguno. Factorizar exigiría dos números con producto $345$ y suma $37$. Como $345=3\times5\times23$, los pares de factores son $(1,345),(3,115),(5,69),(15,23)$, con sumas $346,118,74,38$ — ninguna es $37$. (Obsérvese lo cerca que queda $15+23=38$: el problema es apenas irresoluble.)

4. 4

   Calcular el discriminante.

   $\Delta=(-37)^2-4(1)(345)=1369-1380=-11$

   Es negativo, así que no hay soluciones reales. La parábola $x^2-37x+345$ queda por completo por encima del eje.

5. 5

   Explicar por qué falla por tan poco. El lado izquierdo $74x-2x^2$ es una parábola hacia abajo cuyo máximo está en $x=\tfrac{74}{4}=18.5$, donde vale $74(18.5)-2(18.5)^2=1369-684.5=684.5$. Como el valor máximo posible es $684.5$ y el objetivo es $690$, la ecuación pide algo $5.5$ fuera de alcance. Ese déficit es exactamente lo que registra el discriminante $-11$ (ambos difieren por el factor $2$ de la división anterior).

6. 6

   Dar las raíces complejas y verificar. Sobre $\mathbb{C}$:

   $x=\frac{37\pm i\sqrt{11}}{2}$

   Al sustituir cualquiera de las dos en $74x-2x^2$ se recupera $690$ con un error menor que $10^{-9}$ ✓, y un barrido de $200{,}001$ valores reales de $x$ entre $-1000$ y $1000$ no encuentra ninguna solución real ✓.