Halla P si (18m²n - 2mn² + 15mn) - P = 6m²n - 5mn² - 12mn.

Step-by-step solution

1. 1

   Despeja $P$ teniendo presente que es el sustraendo. De $A-P=B$ se sigue que $P=A-B$, no $B-A$:

   $P=\left(18m^2n-2mn^2+15mn\right)-\left(6m^2n-5mn^2-12mn\right)$

   Invertir esta dirección produciría el opuesto de la respuesta correcta, que es con diferencia el error más común en este tipo de problema.

2. 2

   Distribuye el signo menos sobre todo el segundo polinomio. Los tres signos cambian:

   $-\left(6m^2n-5mn^2-12mn\right)=-6m^2n+5mn^2+12mn$

3. 3

   Reduce los términos semejantes por tipo. Los tres tipos de término distintos son $m^2n$, $mn^2$ y $mn$:

   $m^2n:\;18-6=12,\qquad mn^2:\;-2+5=3,\qquad mn:\;15+12=27$

4. 4

   Escribe el resultado.

   $P=12m^2n+3mn^2+27mn=3mn\left(4m+n+9\right)$

   La forma factorizada sale del factor común $3mn$ que comparten los tres términos.

5. 5

   Verifica numéricamente. Toma $m=1$, $n=2$. El primer polinomio es $18(2)-2(4)+15(2)=36-8+30=58$, y

   $P=12(1)(2)+3(1)(4)+27(2)=24+12+54=90$

   (la forma factorizada concuerda: $3mn(4m+n+9)=3\cdot 2\cdot 15=90$). Entonces el lado izquierdo es $58-90=-32$, y el lado derecho es $6(2)-5(4)-12(2)=12-20-24=-32\;\checkmark$.