Resuelve 71 × 8 = 71(8.9 − x) − x · √((8.9 − x)² − 64) para x.

Step-by-step solution

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   Sustituye $u=8.9-x$ para que el radicando factorice. La expresión $(8.9-x)^2-64$ es una diferencia de cuadrados en $u$. Con $u=8.9-x$ (de modo que $x=8.9-u$ y $71\cdot 8=568$) la ecuación se convierte en

   $568=71u-(8.9-u)\sqrt{u^2-64}$

   $71(u-8)=(8.9-u)\sqrt{(u-8)(u+8)}$

   Escribir $568$ como $71\cdot 8$ es lo que hace que el miembro izquierdo factorice: esa es toda la razón por la que esta ecuación tiene una raíz limpia.

2. 2

   Fija el dominio y elimina de inmediato una de las ramas. El radical exige $u^2\ge 64$, es decir, $u\ge 8$ o $u\le -8$.

   Si $u\le -8$, el miembro izquierdo $71(u-8)$ es negativo, mientras que el derecho $(8.9-u)\sqrt{u^2-64}$ tiene un factor positivo $8.9-u>0$ multiplicado por una raíz no negativa, así que el miembro derecho es $\ge 0$. Ahí no hay solución, lo que además descarta todo $x\ge 16.9$.

   Así que $u\ge 8$, es decir, $x\le 0.9$. En esa rama el miembro izquierdo es $\ge 0$, de modo que también hace falta $x=8.9-u\ge 0$: la búsqueda se estrecha a $0\le x\le 0.9$.

3. 3

   Toma $w=u-8\ge 0$ y lee la raíz de frontera. Entonces $8.9-u=0.9-w$ y

   $71w=(0.9-w)\sqrt{w(w+16)}$

   Tomar $w=0$ cumple la igualdad exactamente: los dos miembros valen $0$. Eso da $u=8$ y

   $x=8.9-8=0.9$

   Compruébalo en la ecuación original: $71(8.9-0.9)-0.9\sqrt{8^2-64}=568-0=568$. ✓ Esta es la raíz que un solucionador puramente numérico pasa por alto con más frecuencia, porque queda justo en el borde del dominio, donde la raíz cuadrada se enciende.

4. 4

   Trata $w>0$ elevando al cuadrado y dividiendo después entre el factor $w$. Al elevar al cuadrado queda $5041w^2=(0.9-w)^2w(w+16)$, y dividiendo entre $w>0$:

   $5041w=(w^2-1.8w+0.81)(w+16)=w^3+14.2w^2-27.99w+12.96$

   $w^3+14.2w^2-5068.99w+12.96=0$

   Sus tres raíces son $w\approx -78.6511$, $w\approx 0.00255674$ y $w\approx 64.4486$. Solo la positiva diminuta cumple $0<w<0.9$; las otras dos hacen negativo a $0.9-w$ mientras $71w$ es positivo (o al revés), así que las introdujo el elevar al cuadrado.

5. 5

   Vuelve a la variable original y verifica numéricamente las dos respuestas. A partir de $x=0.9-w$:

   $x=0.9-0.0025567407\ldots=0.8974432593\ldots$

   Al sustituir en la ecuación original se obtiene $71(8.0025567)-0.8974433\sqrt{8.0025567^2-64}=568.0000000$, con residuo $0$ hasta la precisión de la máquina. Junto con la raíz de frontera:

   $x=0.9\qquad\text{y}\qquad x\approx 0.8974432593$

6. 6

   Por qué la respuesta rápida más difundida, $x\approx 0.797$, está mal. Un camino habitual eleva primero al cuadrado y después intenta factorizar la cuártica $x^4-17.8x^3-5025.79x^2+9073.8x-4083.21$ como $(x^2+63.2x-63.9)(x^2-81x+63.9)$. Al desarrollar ese producto, el coeficiente de $x^2$ sale $-5119.2$ y no $-5025.79$, así que la factorización es sencillamente falsa y los valores $0.7968$ y $0.9954$ que produce no son raíces. Sustituir $x=0.7968$ en la ecuación original devuelve unos $574.30$, no $568$; y el valor acompañante $0.9954$ ni siquiera está en el dominio, ya que $(8.9-0.9954)^2-64\approx -1.52<0$.