Simplificar (x + 4)² - (x² + 8x + 16).

Step-by-step solution

1. 1

   Desarrollar el cuadrado con la fórmula del cuadrado perfecto. La identidad $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ con $a=x$, $b=4$ da

   $(x+4)^{2}=x^{2}+2(x)(4)+4^{2}=x^{2}+8x+16.$

   El término del medio es $2\cdot x\cdot 4=8x$, y no $4x$ — olvidar el factor $2$ es, con diferencia, el error de desarrollo más frecuente aquí.

2. 2

   Notar que el paréntesis es ese mismo trinomio. La expresión ahora se lee

   $\left(x^{2}+8x+16\right)-\left(x^{2}+8x+16\right),$

   es decir, una cantidad menos ella misma. Darse cuenta de inmediato es más rápido que arrastrarse por el álgebra, y explica la respuesta antes de calcularla: en el fondo el problema pregunta si $x^{2}+8x+16$ es el desarrollo de $(x+4)^{2}$.

3. 3

   Distribuir el signo menos sobre todos los términos. Escribiéndolo por seguridad:

   $x^{2}+8x+16-x^{2}-8x-16.$

   Los tres signos de dentro del paréntesis se invierten. Cambiar solo el primer término — un desliz muy común — dejaría $16x+32$ en lugar de $0$.

4. 4

   Agrupar los términos semejantes. Agrupando por grado:

   $(x^{2}-x^{2})+(8x-8x)+(16-16)=0+0+0=0.$

   La expresión se simplifica a la constante $0$.

5. 5

   Interpretar el resultado. El valor es $0$ para todo $x$ real, así que esto es una identidad y no una ecuación por resolver. Comprobando en $x=3$: $(3+4)^{2}=49$ y $9+24+16=49$, diferencia $0$ ✓; en $x=-1$: $9$ y $1-8+16=9$, diferencia $0$ ✓. Que dos valores de prueba coincidan era lo esperable — las dos expresiones son literalmente el mismo polinomio.