Resolver la desigualdad encadenada (x + 1)(x + 2) >= (x + 3)(x + 4) >= (x + 5)(x + 6) y escribir el conjunto solución como un intervalo.

Step-by-step solution

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   Separar la cadena en dos desigualdades. Un enunciado de la forma $A\ge B\ge C$ abrevia dos condiciones que deben cumplirse al mismo tiempo:

   $\text{(I)}\quad (x+1)(x+2)\ge(x+3)(x+4),\qquad \text{(II)}\quad (x+3)(x+4)\ge(x+5)(x+6)$

   La respuesta final es la intersección de los dos conjuntos solución, no su unión. Resulta tentador comparar directamente las expresiones de los extremos $(x+1)(x+2)$ y $(x+5)(x+6)$, pero esa sería una condición más débil y daría un conjunto solución equivocado (demasiado grande).

2. 2

   Desarrollar ambos lados de (I) y observar cómo se cancelan los términos cuadráticos. Al multiplicar,

   $x^2+3x+2\ \ge\ x^2+7x+12$

   Ambos lados tienen exactamente el mismo término principal $x^2$, así que restar $x^2$ en los dos miembros es válido y deja una desigualdad lineal:

   $3x+2\ \ge\ 7x+12$

   Esta cancelación es el corazón del problema: como los productos de factores desplazados consecutivos tienen todos coeficiente principal $1$, no hace falta ninguna tabla de signos ni análisis de la parábola.

3. 3

   Resolver la desigualdad lineal (I). Se agrupan las $x$ en un mismo lado:

   $3x+2\ge 7x+12\ \Longrightarrow\ -10\ge 4x\ \Longrightarrow\ x\le-\frac{10}{4}=-\frac{5}{2}$

   Dividir entre el número positivo $4$ no invierte el sentido de la desigualdad; la dirección solo se invierte al dividir o multiplicar por un número negativo. Leer $-\tfrac52\ge x$ de derecha a izquierda da $x\le-\tfrac52$.

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   Repetir el procedimiento con (II). Al desarrollar,

   $x^2+7x+12\ \ge\ x^2+11x+30\ \Longrightarrow\ 7x+12\ \ge\ 11x+30$

   $-18\ \ge\ 4x\ \Longrightarrow\ x\le-\frac{18}{4}=-\frac{9}{2}$

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   Intersecar las dos condiciones. Se necesita $x\le-\tfrac52$ y $x\le-\tfrac92$ a la vez. Como $-\tfrac92=-4.5$ queda a la izquierda de $-\tfrac52=-2.5$, la segunda condición es la más estricta e implica automáticamente la primera:

   $x\le-\frac{9}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\left(-\infty,\,-\frac{9}{2}\right]$

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   Probar un valor dentro y otro fuera. En $x=-5$: $(-4)(-3)=12$, $(-2)(-1)=2$, $(0)(1)=0$, y se cumple $12\ge2\ge0$. ✓ En $x=-4$ (que satisface (I) pero no (II)): $(-3)(-2)=6$, $(-1)(0)=0$, $(1)(2)=2$, y $0\ge2$ es falso. ✗ Esto confirma que intersecar en lugar de unir era lo correcto, y que el extremo $x=-\tfrac92$ se incluye porque ambas desigualdades admiten la igualdad.