Simplifique (x + y)(x − y) + 4(y − 1) y factorice el resultado.

Step-by-step solution

1. 1

   Desarrolle el producto con la identidad de la diferencia de cuadrados.

   $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$

   Multiplicar término a término daría lo mismo, pero la identidad se salta los dos términos cruzados que se cancelan.

2. 2

   Desarrolle el segundo paréntesis.

   $4(y-1) = 4y - 4$

3. 3

   Junte todo en la expresión simplificada.

   $x^2 - y^2 + 4y - 4$

   Entre estos términos no hay dos semejantes, así que esta es la forma desarrollada totalmente simplificada.

4. 4

   Detecte una segunda diferencia de cuadrados. Agrupando los tres últimos términos y sacando $-1$ como factor:

   $-y^2 + 4y - 4 = -\left(y^2 - 4y + 4\right) = -(y-2)^2$

   de modo que toda la expresión es $x^2 - (y-2)^2$: otra vez una diferencia de dos cuadrados.

5. 5

   Factorice.

   $x^2 - (y-2)^2 = \left(x - (y-2)\right)\left(x + (y-2)\right) = (x - y + 2)(x + y - 2)$

6. 6

   Compruebe numéricamente en (x, y) = (3, 5). La original da $(8)(-2) + 4(4) = -16 + 16 = 0$. La forma desarrollada da $9 - 25 + 20 - 4 = 0$. La forma factorizada da $(3-5+2)(3+5-2) = 0 \times 6 = 0$. Las tres coinciden, y el cero no es casualidad: $x = y - 2$ anula el primer factor.