Resuelve la inecuación (x − 2)³ (x − 4)⁴ (x − 5)³ (x − 10)⁶ ≤ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Enumera los ceros y sus multiplicidades. El producto se anula exactamente en

   $x=2\ (\text{mult. }3),\quad x=4\ (\text{mult. }4),\quad x=5\ (\text{mult. }3),\quad x=10\ (\text{mult. }6).$

   Como la desigualdad es $\le$ y no $<$, cada uno de estos cuatro puntos es automáticamente solución, un detalle que resulta decisivo en $x=10$.

2. 2

   Usa la paridad de los exponentes para reducir el problema. Una potencia par nunca es negativa, así que $(x-4)^{4}$ y $(x-10)^{6}$ son $\ge 0$ en todas partes y no pueden invertir el signo en ningún punto. Fuera de los ceros, el signo de todo el producto es por tanto el signo de

   $(x-2)^{3}(x-5)^{3},$

   que a su vez tiene el mismo signo que $(x-2)(x-5)$, porque elevar al cubo conserva el signo.

3. 3

   Lee el signo de $(x-2)(x-5)$. Esta parábola hacia arriba es negativa estrictamente entre sus raíces y positiva fuera:

   $(x-2)(x-5)<0\iff 2<x<5.$

   Así que el producto es negativo en $(2,5)$ —salvo en $x=4$, donde vale cero, lo que sigue cumpliendo $\le 0$, de modo que ahí no se pierde nada— y positivo en $(-\infty,2)\cup(5,10)\cup(10,\infty)$.

4. 4

   Arma el conjunto solución, incluido el punto aislado. Combinando el intervalo negativo con los cuatro ceros:

   $[2,5]\cup\{10\}.$

   El punto $x=10$ está aislado: a ambos lados el producto es estrictamente positivo (es una potencia sexta multiplicada por factores positivos), pero en $x=10$ el producto vale $0$, lo que el $\le$ admite. Dejarlo fuera es, con diferencia, el error más frecuente en este tipo de ejercicio.

5. 5

   Verifica con valores de prueba. $x=0$: $(-8)(256)(-125)(10^{6})>0$, excluido ✓. $x=3$: $(1)(1)(-8)(\ldots)=-941192<0$, incluido ✓. $x=4.5$: $\approx-3379<0$, incluido ✓. $x=6$: $+4194304>0$, excluido ✓. $x=9$: $+13720000>0$, excluido ✓. $x=10$: exactamente $0$, incluido ✓. $x=11$: $+378071064>0$, excluido ✓.