Factoriza o simplifica a⁴ + a³ + a² + a + 1, y di si se factoriza sobre los racionales y sobre los reales.

Step-by-step solution

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   Reconoce la serie geométrica. Los cinco términos son potencias consecutivas de $a^0$ a $a^4$ con razón $a$, así que se aplica la fórmula de la suma geométrica finita:

   $a^4+a^3+a^2+a+1=\frac{a^5-1}{a-1},\qquad a\neq1$

   De forma equivalente, multiplicar la expresión por $(a-1)$ se telescopa hasta $a^5-1$. En $a=1$ el valor es simplemente $5$.

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   Descarta los factores racionales. Por el teorema de la raíz racional, cualquier raíz racional debe dividir al término constante $1$, así que los únicos candidatos son $a=\pm1$: $p(1)=5$ y $p(-1)=1-1+1-1+1=1$, ninguno cero. Este polinomio es el quinto polinomio ciclotómico $\Phi_5$, y en efecto es irreducible sobre los racionales: sus raíces son las cuatro raíces quintas primitivas de la unidad.

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   No te detengas ahí: sobre los reales sí se factoriza. Un error frecuente es concluir «irreducible» y punto. Toda cuártica real se factoriza en dos cuadráticas reales, y aquí la factorización es explícita. Divide todo entre $a^2$ (válido para $a\neq0$) y agrupa de forma simétrica:

   $a^2+a+1+\frac1a+\frac{1}{a^2}=\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)+\left(a+\frac1a\right)+1$

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   Sustituye t = a + 1/a. Como $a^2+\frac{1}{a^2}=t^2-2$, el corchete se convierte en

   $t^2-2+t+1=t^2+t-1$

   cuyas raíces son $t=\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2}$: las conjugadas de la razón dorada. Cada valor de $t$ corresponde a la cuadrática $a^2-ta+1=0$.

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   Escribe la factorización real.

   $a^4+a^3+a^2+a+1=\left(a^2+\frac{1+\sqrt5}{2}a+1\right)\left(a^2+\frac{1-\sqrt5}{2}a+1\right)$

   Los dos factores son irreducibles sobre los reales: sus discriminantes son $t^2-4$ con $t\approx0.618$ y $t\approx-1.618$, lo que da $-3.618$ y $-1.382$, negativos los dos.

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   Fíjate en la consecuencia y verifica. Como los dos factores cuadráticos son siempre positivos, la cuártica es positiva para todo $a$ real: su mínimo en $[-8,8]$ vale unos $0.6736$ y nunca llega a cero. Numéricamente, la expresión original y el producto de las dos cuadráticas concuerdan en $80$ valores aleatorios de $a$ en $[-4,4]$ hasta la precisión de la máquina ✓, y la forma de serie geométrica coincide en $a=1.3,\,2.7,\,-0.4,\,-3.1$ ✓.