Factoriza la expresión a² − 4x² + 12x − 9.

Step-by-step solution

1. 1

   Cuenta las variables antes de agrupar. Hay cuatro términos, pero solo uno contiene $a$; los otros tres están todos en $x$. Esa asimetría es la pista: agrupa los tres términos en $x$ y observa si forman algo reconocible.

2. 2

   Agrupa sacando un signo menos al frente. Factoriza $-1$ de los tres últimos términos: cada signo de adentro se invierte.

   $a^2-4x^2+12x-9=a^2-\left(4x^2-12x+9\right)$

   Olvidar invertir el signo de $+12x$ y de $-9$ aquí es el error habitual.

3. 3

   Reconoce el cuadrado perfecto. Para $4x^2-12x+9$, comprueba que $(2x)^2=4x^2$, $3^2=9$, and $2\cdot 2x\cdot 3=12x$, que coincide con el término central, así que

   $4x^2-12x+9=(2x-3)^2$

   La expresión ahora es $a^2-(2x-3)^2$.

4. 4

   Aplica la diferencia de cuadrados. Con $A=a$ y $B=2x-3$, la identidad $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ da

   $a^2-(2x-3)^2=\bigl(a-(2x-3)\bigr)\bigl(a+(2x-3)\bigr)$

5. 5

   Quita los paréntesis interiores. Distribuyendo los signos:

   $(a-2x+3)(a+2x-3)$

   Ninguno de los dos factores se puede descomponer más sobre los enteros, así que la factorización está completa.

6. 6

   Desarrolla para verificar. $(a-2x+3)(a+2x-3)=a^2+a(2x-3)-a(2x-3)-(2x-3)^2=a^2-(4x^2-12x+9)=a^2-4x^2+12x-9$. $\checkmark$