Desarrolla y simplifica (7x² + 7x − 5)(5x² − 4x + 2).

Step-by-step solution

1. 1

   Organiza la contabilidad antes de multiplicar. Dos trinomios producen $3\times3=9$ productos parciales. Distribuir un término de la izquierda a la vez (en lugar de la doble distributiva, que solo cubre binomios) mantiene los nueve bajo control.

2. 2

   Distribuye el término principal $7x^{2}$.

   $7x^{2}\left(5x^{2}-4x+2\right)=35x^{4}-28x^{3}+14x^{2}$

3. 3

   Distribuye el término central $7x$.

   $7x\left(5x^{2}-4x+2\right)=35x^{3}-28x^{2}+14x$

4. 4

   Distribuye la constante $-5$, arrastrando su signo por todos los términos.

   $-5\left(5x^{2}-4x+2\right)=-25x^{2}+20x-10$

5. 5

   Agrupa las potencias iguales. Junta los nueve términos por grado:

   $x^{4}:\ 35x^{4}$
   $x^{3}:\ -28x^{3}+35x^{3}=7x^{3}$
   $x^{2}:\ 14x^{2}-28x^{2}-25x^{2}=-39x^{2}$
   $x^{1}:\ 14x+20x=34x$
   $x^{0}:\ -10$

6. 6

   Comprueba el desarrollo numéricamente. Evaluar la forma factorizada y la desarrollada en cada entero $x$ de $-6$ a $6$ da valores idénticos en los $13$ puntos: más de los $5$ necesarios para determinar una cuártica, así que los coeficientes son correctos. (Comprobación rápida en $x=1$: $(7+7-5)(5-4+2)=9\cdot3=27$ y $35+7-39+34-10=27$.)