Resolver la ecuación x^2 + 4|x - 3| - 7x + 11 = 0.

Step-by-step solution

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   Localizar dónde cambia de signo la expresión dentro de las barras. $|x-3|$ se comporta de forma distinta a cada lado de $x=3$, así que la recta real se parte en dos ramas: $x\ge 3$ y $x<3$. En cada rama el valor absoluto se puede sustituir por una expresión lineal corriente, lo que convierte una ecuación difícil en dos ecuaciones cuadráticas normales.

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   Rama 1: $x\ge 3$, de modo que $|x-3|=x-3$. Al sustituir y agrupar términos:

   $x^2+4(x-3)-7x+11=x^2+4x-12-7x+11=x^2-3x-1=0$

   $x=\frac{3\pm\sqrt{9+4}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$

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   Conservar solo la raíz de la rama 1 que realmente cumple $x\ge 3$. Numéricamente $\frac{3+\sqrt{13}}{2}\approx 3.303\ \ge 3$ (se acepta), mientras que $\frac{3-\sqrt{13}}{2}\approx-0.303<3$ (se rechaza). El valor rechazado resuelve la ecuación reescrita, pero no la original, porque en ese lado $|x-3|$ no es $x-3$.

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   Rama 2: $x<3$, de modo que $|x-3|=3-x$.

   $x^2+4(3-x)-7x+11=x^2-4x+12-7x+11=x^2-11x+23=0$

   $x=\frac{11\pm\sqrt{121-92}}{2}=\frac{11\pm\sqrt{29}}{2}$

   Aquí $\frac{11-\sqrt{29}}{2}\approx 2.807<3$ (se acepta) y $\frac{11+\sqrt{29}}{2}\approx 8.193\ \ge 3$ (se rechaza).

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   Verificar las dos raíces supervivientes en la ecuación original. Para $x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\approx3.30278$: $x^2\approx10.9083$, $4|x-3|\approx1.2111$, $-7x\approx-23.1194$, así que el total es $10.9083+1.2111-23.1194+11\approx 0$. Para $x=\frac{11-\sqrt{29}}{2}\approx2.80742$: $x^2\approx7.8816$, $4|x-3|\approx0.7703$, $-7x\approx-19.6519$, total $\approx 0$. Ambas se comprueban.

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   Dar las dos raíces. La ecuación tiene exactamente dos soluciones,

   $x=\frac{11-\sqrt{29}}{2}\approx2.807\qquad\text{y}\qquad x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\approx3.303$

   Una raíz queda a cada lado del punto de corte $x=3$ — un buen recordatorio de que una separación en casos puede aportar, y a menudo aporta, una raíz de cada rama.