Simplifica la fracción compleja [(6y² + y − 1)/(4y² + 4y + 1)] ÷ [(3y² + 2y − 1)/(2y² − 7y − 4)].

Step-by-step solution

1. 1

   Lee la fracción compleja como una división. Una fracción cuyo numerador y denominador son a su vez fracciones significa

   $\frac{6y^{2}+y-1}{4y^{2}+4y+1}\div\frac{3y^{2}+2y-1}{2y^{2}-7y-4}$

2. 2

   Factoriza las cuatro cuadráticas.

   $6y^{2}+y-1=(3y-1)(2y+1),\qquad 4y^{2}+4y+1=(2y+1)^{2}$

   $3y^{2}+2y-1=(3y-1)(y+1),\qquad 2y^{2}-7y-4=(2y+1)(y-4)$

   Fíjate en que $4y^{2}+4y+1$ es un trinomio cuadrado perfecto: detectarlo ahorra una ronda entera del método ac.

3. 3

   Invierte el divisor y arma el producto.

   $\frac{(3y-1)(2y+1)}{(2y+1)^{2}}\cdot\frac{(2y+1)(y-4)}{(3y-1)(y+1)}$

4. 4

   Cancela de forma sistemática. Al multiplicar la forma factorizada, el numerador queda $(3y-1)(2y+1)^{2}(y-4)$ y el denominador $(2y+1)^{2}(3y-1)(y+1)$. Tanto $(3y-1)$ como $(2y+1)^{2}$ aparecen arriba y abajo, así que se cancelan por completo:

   $\frac{(3y-1)(2y+1)^{2}(y-4)}{(2y+1)^{2}(3y-1)(y+1)}=\frac{y-4}{y+1}$

   $\boxed{\dfrac{y-4}{y+1}}\qquad\left(y\neq -\tfrac12,\ \tfrac13,\ -1,\ 4\right)$

5. 5

   Comprueba con un valor de prueba. En $y=0$: la fracción de arriba vale $\tfrac{-1}{1}=-1$, la de abajo vale $\tfrac{-1}{-4}=\tfrac14$, así que el cociente es $-1\div\tfrac14=-4$; la respuesta da $\tfrac{-4}{1}=-4$ ✓.

6. 6

   Anota los valores excluidos. Además del visible $y=-1$, la expresión original exige también $y\neq-\tfrac12$ (los dos denominadores de las fracciones interiores), $y\neq\tfrac13$ y $y\neq 4$ (para que el divisor no sea cero ni quede indefinido).