El conjunto solución de la desigualdad cuadrática ax^2 + bx + 1 > 0 es el intervalo -1 < x < 2. Hallar el valor de ab.

Step-by-step solution

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   Usar la forma del conjunto solución para fijar el signo de $a$. Una parábola es positiva entre sus raíces solo cuando se abre hacia abajo. Aquí el conjunto solución es el intervalo acotado $(-1,2)$, es decir, la expresión es positiva estrictamente entre dos números, así que

   $a<0,$

   y $x=-1$ y $x=2$ deben ser las dos raíces de $ax^{2}+bx+1=0$ (los extremos, donde la desigualdad estricta deja de cumplirse por poco).

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   Reconstruir la cuadrática a partir de sus raíces. Toda cuadrática con raíces $-1$ y $2$ es un múltiplo de $(x+1)(x-2)$, así que

   $ax^{2}+bx+1=k(x+1)(x-2)=k\left(x^{2}-x-2\right)=kx^{2}-kx-2k$

   para algún $k<0$ (el signo de $k$ es el signo de $a$).

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   Determinar $k$ con el término independiente. Este es el paso que hace resoluble el problema: la cuadrática dada tiene término independiente exactamente $1$, y eso elimina el factor de escala libre. Comparando los términos independientes,

   $-2k=1\quad\Longrightarrow\quad k=-\frac{1}{2},$

   que en efecto cumple $k<0$, coherente con el paso 1.

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   Leer $a$ y $b$. Sustituyendo $k=-\tfrac12$:

   $ax^{2}+bx+1=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x+1\quad\Longrightarrow\quad a=-\frac{1}{2},\ \ b=\frac{1}{2}.$

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   Calcular $ab$ y verificar la desigualdad original.

   $ab=\left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}.$

   Comprobación: $-\tfrac12x^{2}+\tfrac12x+1>0$ equivale (multiplicando por $-2$ e invirtiendo el signo) a $x^{2}-x-2<0$, es decir $(x+1)(x-2)<0$, cuya solución es exactamente $-1<x<2$. Los valores de prueba lo confirman: en $x=0$ la expresión vale $1>0$, en $x=\pm$ los extremos vale $0$, y en $x=3$ vale $-2<0$.