Simplifica √(3 + √5) + √(3 − √5).

Step-by-step solution

1. 1

   Comprueba que la expresión es real y después dale un nombre. Como $\sqrt5\approx 2.236<3$, tanto $3+\sqrt5$ como $3-\sqrt5$ son positivos, así que las dos raíces cuadradas son reales y positivas. Define

   $S=\sqrt{3+\sqrt5}+\sqrt{3-\sqrt5}$

   Ponerle nombre a la suma es lo que hace posible el paso siguiente: los radicales anidados casi nunca se simplifican término a término, pero su cuadrado sí suele hacerlo.

2. 2

   Eleva la suma al cuadrado con $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$. Cada raíz cuadrada desaparece al elevarse al cuadrado:

   $S^2=(3+\sqrt5)+(3-\sqrt5)+2\sqrt{(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)}$

3. 3

   Simplifica las dos partes fáciles. Los términos con $\sqrt5$ se cancelan en la suma, y el producto que queda bajo el radical es una diferencia de cuadrados:

   $(3+\sqrt5)+(3-\sqrt5)=6,\qquad (3+\sqrt5)(3-\sqrt5)=3^2-(\sqrt5)^2=9-5=4$

   Esa cancelación es toda la razón por la que se eligió la pareja de conjugados.

4. 4

   Arma $S^2$.

   $S^2=6+2\sqrt4=6+2\cdot 2=10$

5. 5

   Elige la raíz correcta. Elevar al cuadrado puede introducir un signo espurio, así que decídelo a partir de la expresión original: $S$ es una suma de dos números positivos, luego $S>0$ y

   $S=\sqrt{10}$

   Numéricamente, $\sqrt{3+\sqrt5}+\sqrt{3-\sqrt5}=2.288246+0.874032=3.162278=\sqrt{10}$. ✓