Simplifica (x⁵ − x + 20x³ − 8) dividido entre (7 + x² − 2x).

Step-by-step solution

1. 1

   Coloca ambos polinomios en el orden estándar decreciente. Tal como están escritos, los términos aparecen desordenados, y la división larga depende por completo del orden por grados:

   $\text{numerador: } x^5 + 20x^3 - x - 8, \qquad \text{denominador: } x^2 - 2x + 7$

   El cociente tendrá grado $5 - 2 = 3$.

2. 2

   Inserta ceros de relleno para las potencias que faltan. El numerador no tiene término en $x^4$ ni en $x^2$, así que escribe

   $x^5 + 0x^4 + 20x^3 + 0x^2 - x - 8$

   Sin esos ceros de relleno las columnas se desalinean y todas las restas siguientes salen mal.

3. 3

   Vueltas 1 y 2. Divide los términos principales, multiplica y resta:

   $\frac{x^5}{x^2} = x^3: \quad x^3(x^2-2x+7) = x^5 - 2x^4 + 7x^3 \ \Rightarrow\ 2x^4 + 13x^3 + 0x^2 - x - 8$

   $\frac{2x^4}{x^2} = 2x^2: \quad 2x^2(x^2-2x+7) = 2x^4 - 4x^3 + 14x^2 \ \Rightarrow\ 17x^3 - 14x^2 - x - 8$

4. 4

   Vueltas 3 y 4.

   $\frac{17x^3}{x^2} = 17x: \quad 17x(x^2-2x+7) = 17x^3 - 34x^2 + 119x \ \Rightarrow\ 20x^2 - 120x - 8$

   $\frac{20x^2}{x^2} = 20: \quad 20(x^2-2x+7) = 20x^2 - 40x + 140 \ \Rightarrow\ -80x - 148$

   Lo que sobra, $-80x - 148$, tiene grado $1$, por debajo del grado $2$ del divisor, así que la división termina aquí.

5. 5

   Escribe el resultado como cociente más resto propio.

   $\frac{x^5 + 20x^3 - x - 8}{x^2 - 2x + 7} = x^3 + 2x^2 + 17x + 20 - \frac{80x + 148}{x^2 - 2x + 7}$

6. 6

   Verifica multiplicando de vuelta. Al desarrollar $(x^2 - 2x + 7)(x^3 + 2x^2 + 17x + 20) + (-80x - 148)$ se reproduce exactamente $x^5 + 20x^3 - x - 8$. Observa que el divisor $x^2 - 2x + 7$ tiene discriminante $4 - 28 = -24 < 0$, así que nunca se factoriza sobre los reales y el resto no puede simplificarse más con fracciones parciales de factores lineales reales.