Resuelve la inecuación (3 − x)/(2x + 1) ≥ 1.

Step-by-step solution

1. 1

   No multiplicar ambos lados por 2x + 1. Su signo cambia en $x=-\tfrac12$, así que multiplicar por él invertiría la desigualdad a un lado de ese punto sin ningún aviso. El movimiento inicial correcto es comparar una sola fracción con cero.

2. 2

   Restar 1 y combinar sobre el común denominador.

   $\frac{3-x}{2x+1}-\frac{2x+1}{2x+1}\ge0\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{3-x-(2x+1)}{2x+1}\ge0$

   La resta alcanza a los dos términos de $(2x+1)$:

   $3-x-2x-1=2-3x$

   de modo que la inecuación queda $\dfrac{2-3x}{2x+1}\ge0$.

3. 3

   Hallar los puntos críticos.

   $2-3x=0\Rightarrow x=\frac23\quad(\text{numerador cero}),\qquad 2x+1=0\Rightarrow x=-\frac12\quad(\text{excluido})$

   Estos dividen la recta en $\left(-\infty,-\tfrac12\right)$, $\left(-\tfrac12,\tfrac23\right)$ y $\left(\tfrac23,\infty\right)$.

4. 4

   Probar un punto por intervalo. En $x=-1$: $\dfrac{2+3}{-1}=-5<0$. En $x=0$: $\dfrac{2}{1}=2>0$. En $x=1$: $\dfrac{-1}{3}<0$. Así que solo califica el intervalo central: la fracción es positiva exactamente entre los dos puntos críticos.

5. 5

   Decidir cada extremo por separado, porque se comportan de manera distinta. En $x=\tfrac23$ el numerador es $0$, así que la fracción vale $0$ y se cumple $\ge0$: hay que incluirlo. En $x=-\tfrac12$ el denominador es $0$, así que la expresión no está definida: hay que excluirlo. Esa asimetría produce un intervalo semiabierto.

6. 6

   Enunciar la solución y verificar.

   $-\frac12<x\le\frac23,\qquad\left(-\frac12,\ \frac23\right]$

   Usando fracciones exactas en $18001$ puntos racionales de prueba de $[-3,3]$ (omitiendo $x=-\tfrac12$), la inecuación original se cumple exactamente en los puntos de este intervalo y en ningún otro ✓.