Resolver para a, b y c: 10a + 10b + c = 2.9, 400a + 20b + c = 4.0 y 900a + 30b + c = 4.9.

Step-by-step solution

1. 1

   Elige la incógnita más barata de eliminar. En las tres ecuaciones $c$ aparece con coeficiente exactamente $1$, así que restar dos ecuaciones cualesquiera elimina $c$ sin ningún reescalado. Eliminar $a$ en su lugar obligaría a multiplicar por factores incómodos como $40$ y $90$.

2. 2

   Resta la ecuación 1 de la ecuación 2.

   $(400a + 20b + c) - (10a + 10b + c) = 4.0 - 2.9$

   $390a + 10b = 1.1 \ \Longrightarrow \ 39a + b = 0.11 \qquad (1)$

3. 3

   Resta la ecuación 2 de la ecuación 3.

   $(900a + 30b + c) - (400a + 20b + c) = 4.9 - 4.0$

   $500a + 10b = 0.9 \ \Longrightarrow \ 50a + b = 0.09 \qquad (2)$

   Ahora quedan dos ecuaciones con dos incógnitas, ambas con coeficiente $1$ en $b$.

4. 4

   Resta (1) de (2) para hallar a.

   $(50a + b) - (39a + b) = 0.09 - 0.11 \ \Longrightarrow \ 11a = -0.02$

   $a = -\frac{0.02}{11} = -\frac{1}{550} \approx -0.0018182$

   Pasa aquí a fracciones exactas: los decimales no son finitos, y arrastrar valores redondeados a las dos sustituciones siguientes corrompería de forma visible $b$ y $c$.

5. 5

   Sustituye hacia atrás para hallar b. De (1) con $a = -\frac{1}{550}$:

   $b = 0.11 + \frac{39}{550} = \frac{11}{100} + \frac{39}{550} = \frac{121}{1100} + \frac{78}{1100} = \frac{199}{1100} \approx 0.1809091$

6. 6

   Sustituye hacia atrás para hallar c y verifica las tres ecuaciones. De la primera ecuación:

   $c = 2.9 - 10a - 10b = 2.9 + \frac{1}{55} - \frac{199}{110} = \frac{61}{55} \approx 1.1090909$

   Comprobación: la ecuación 2 da $400(-\tfrac{1}{550}) + 20(\tfrac{199}{1100}) + \tfrac{61}{55} = -\tfrac{8}{11} + \tfrac{199}{55} + \tfrac{61}{55} = 4$, y la ecuación 3 da $4.9$. La eliminación gaussiana exacta reproduce las mismas tres fracciones.