Hallar y simplificar el cociente incremental (f(x + h) - f(x))/h, con h distinto de 0, para f(x) = x^2 - 5x + 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Sustituir $x+h$ en toda la regla, no solo en el primer término. Cada $x$ de $f$ debe reemplazarse, incluida la que aparece dentro de $-5x$:

   $f(x+h)=(x+h)^{2}-5(x+h)+2.$

   Desarrollando $(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}$ y distribuyendo el $-5$:

   $f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}-5x-5h+2.$

2. 2

   Restar $f(x)$ manteniendo el signo menos aplicado a todos los términos. Aquí es donde se producen la mayoría de los errores de signo, así que conviene escribir el segundo paréntesis antes de eliminarlo:

   $f(x+h)-f(x)=\left(x^{2}+2xh+h^{2}-5x-5h+2\right)-\left(x^{2}-5x+2\right).$

   $=x^{2}+2xh+h^{2}-5x-5h+2-x^{2}+5x-2.$

3. 3

   Observar qué se cancela y por qué. Todo término de $f(x)$ que no contiene $h$ desaparece: $x^{2}-x^{2}=0$, $-5x+5x=0$, $2-2=0$. Eso ocurre siempre, y es lo que garantiza que el numerador sea divisible entre $h$:

   $f(x+h)-f(x)=2xh+h^{2}-5h.$

4. 4

   Sacar $h$ de factor común en el numerador y cancelarlo. Como se da por dato que $h\neq 0$, la cancelación es válida:

   $\frac{2xh+h^{2}-5h}{h}=\frac{h(2x+h-5)}{h}=2x+h-5.$

5. 5

   Interpretar y comprobar el resultado. La respuesta $2x+h-5$ es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos $(x,f(x))$ y $(x+h,f(x+h))$. Haciendo $h\to 0$ se obtiene $2x-5$, que es exactamente $f'(x)$: una buena confirmación. Comprobación numérica en $x=1.7$, $h=0.03$: $\frac{f(1.73)-f(1.7)}{0.03}=-1.57$, y $2(1.7)+0.03-5=-1.57$.