Resuelve la inecuación 25 - 2(n - 2) ≥ -8n + 6.

Step-by-step solution

1. 1

   Distribuye el -2 en el paréntesis. El signo menos pertenece al $2$, así que cambian los dos términos interiores: $-2\cdot n=-2n$ y $-2\cdot(-2)=+4$. Olvidar ese cambio de signo en el segundo término es el error clásico aquí.

   $25-2n+4\ge -8n+6$

2. 2

   Suma las constantes del miembro izquierdo. $25+4=29$, lo que da

   $29-2n\ge -8n+6$

3. 3

   Pasa los términos en n a un solo lado sumando 8n. Sumar la misma cantidad en ambos miembros nunca cambia el sentido de una desigualdad, y sumar $8n$ (en vez de restar $2n$) deja el coeficiente positivo, lo que evita una inversión posterior:

   $29+6n\ge 6$

4. 4

   Aísla el término en n. Resta $29$ en ambos miembros:

   $6n\ge -23$

5. 5

   Divide entre 6 y explica por qué el signo se mantiene. Como $6>0$, dividir conserva el $\ge$:

   $n\ge -\frac{23}{6}$

   La fracción no se puede simplificar, porque $23$ es primo y no divide a $6$. En decimal, $-\tfrac{23}{6}\approx-3.8\overline{3}$.

6. 6

   Comprueba la frontera y un punto interior. En $n=-\tfrac{23}{6}$: izquierda $=25-2\left(-\tfrac{23}{6}-2\right)=25+\tfrac{70}{6}=\tfrac{220}{6}$ y derecha $=-8\left(-\tfrac{23}{6}\right)+6=\tfrac{184}{6}+\tfrac{36}{6}=\tfrac{220}{6}$ — iguales, como se espera en la frontera ✓. En $n=0$ (dentro del conjunto solución): $25-2(-2)=29\ge 6$ ✓, de modo que la desigualdad apunta de verdad en el sentido indicado.