Halla la intersección de los intervalos (−∞, −10] y [−10, 8).

Step-by-step solution

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   Traducir cada intervalo a una desigualdad. $(-\infty, -10]$ es $\{x : x \le -10\}$ y $[-10, 8)$ es $\{x : -10 \le x < 8\}$. La forma de los delimitadores importa: el corchete incluye el extremo y el paréntesis lo excluye.

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   Intersecar las condiciones. Un número que esté en ambos conjuntos debe cumplir a la vez $x \le -10$ y $x \ge -10$, lo que obliga a

   $x = -10$

   La tercera condición, $x < 8$, se cumple entonces automáticamente.

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   Confirmar que el extremo sí está incluido. El $-10$ pertenece al primer intervalo porque su extremo derecho es cerrado, y al segundo porque su extremo izquierdo es cerrado. Si cualquiera de los dos delimitadores hubiera sido un paréntesis, la intersección habría sido vacía.

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   Escribir la respuesta de las dos maneras. Como conjunto, $\{-10\}$; como intervalo, el intervalo cerrado degenerado

   $[-10,\, -10]$

   Tiene longitud $0$ pero no es vacío: una distinción que conviene tener clara.

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   Contrastar con la unión. Esos mismos dos intervalos tienen unión $(-\infty, 8)$, ya que entre los dos cubren todo lo que queda por debajo de $8$. La intersección se reduce a un punto precisamente porque los intervalos se tocan extremo con extremo en lugar de solaparse.