Resuelve 2(x² + 1/x²) − 11(x − 1/x) + 8 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Elegir la sustitución que coincide con el paréntesis presente. La ecuación contiene $x-\tfrac1x$, así que se define

   $t=x-\frac1x\qquad(x\neq 0)$

   Elevando al cuadrado se obtiene $t^{2}=x^{2}-2+\tfrac{1}{x^{2}}$, de donde

   $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}+2$

   Atención al más $2$ que aparece aquí. Con la otra sustitución habitual, $t=x+\tfrac1x$, la constante sería $-2$; confundir las dos es el error clásico.

2. 2

   Reescribir la ecuación en t.

   $2\left(t^{2}+2\right)-11t+8=0\quad\Longrightarrow\quad 2t^{2}-11t+12=0$

3. 3

   Resolver la cuadrática en t.

   $t=\frac{11\pm\sqrt{121-96}}{4}=\frac{11\pm 5}{4}\quad\Longrightarrow\quad t=4\ \text{o}\ t=\frac32$

4. 4

   Deshacer t = 4.

   $x-\frac1x=4\ \Longrightarrow\ x^{2}-4x-1=0\ \Longrightarrow\ x=2\pm\sqrt5$

   Las dos son reales, ya que el discriminante es $16+4=20>0$.

5. 5

   Deshacer t = 3/2.

   $x-\frac1x=\frac32\ \Longrightarrow\ 2x^{2}-3x-2=0\ \Longrightarrow\ (2x+1)(x-2)=0\ \Longrightarrow\ x=2\ \text{o}\ x=-\frac12$

   $\boxed{x=2+\sqrt5,\ 2-\sqrt5,\ 2,\ -\tfrac12}$

6. 6

   Notar por qué sobreviven las cuatro, y comprobar una. A diferencia de la ecuación hermana con $t=x+\tfrac1x$ (donde $|t|\ge 2$ descarta algunas ramas), $t=x-\tfrac1x$ toma todos los valores reales, así que ninguna rama queda excluida. Comprobando $x=2$: $x^{2}+\tfrac{1}{x^{2}}=4.25$ y $x-\tfrac1x=1.5$, con lo que $2(4.25)-11(1.5)+8=8.5-16.5+8=0$ ✓.