Resolver la ecuación x³ − 3x² + 4 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Probar los candidatos racionales. Por el teorema de la raíz racional las posibilidades son $\pm1, \pm2, \pm4$. Al comprobar: $f(1) = 1 - 3 + 4 = 2$, $f(-1) = -1 - 3 + 4 = 0$, $f(2) = 8 - 12 + 4 = 0$. Dos candidatos funcionan de inmediato, lo que ya sugiere un factor repetido.

2. 2

   Dividir entre (x − 2) con división sintética. Se escriben los coeficientes incluyendo el término lineal ausente: $1,\ -3,\ 0,\ 4$. Bajando el $1$ y multiplicando por $2$ en cada paso se obtiene la fila $1,\ -1,\ -2$ con resto $0$, así que

   $x^3 - 3x^2 + 4 = (x-2)\left(x^2 - x - 2\right)$

   Colocar el $0$ como marcador de posición es esencial: omitirlo desplaza todos los coeficientes siguientes.

3. 3

   Factorizar la cuadrática. Dos números cuyo producto es $-2$ y cuya suma es $-1$ son $-2$ y $1$:

   $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$

4. 4

   Escribir la factorización completa.

   $x^3 - 3x^2 + 4 = (x-2)^2(x+1)$

   El factor $(x-2)$ apareció dos veces, lo que confirma la pista anterior.

5. 5

   Enunciar las raíces y sus multiplicidades.

   $x = 2 \ \text{(raíz doble)}, \qquad x = -1$

6. 6

   Verificar. Al desarrollar, $(x-2)^2(x+1) = \left(x^2 - 4x + 4\right)(x+1) = x^3 - 3x^2 + 4$: los términos en $x$, $-4x$ y $+4x$, se cancelan, y por eso el original no tiene término lineal. Como $x = 2$ tiene multiplicidad par, la curva toca ahí el eje sin cruzarlo, mientras que en $x = -1$ sí lo cruza.