Resuelve 3.68x³ + 92.3x² − 500 = 0. Halla las tres raíces reales con cuatro decimales.

Step-by-step solution

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   Observa que falta el término lineal y que no hay raíces racionales. El polinomio $f(x)=3.68x^{3}+92.3x^{2}-500$ no tiene término en $x$, y los coeficientes decimales descartan una raíz racional limpia. Así que las raíces habrá que localizarlas numéricamente, pero cuántas hay se puede decidir antes.

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   Barre buscando cambios de signo en un intervalo amplio. Evaluar $f$ desde $-40$ hasta $20$ con pasos pequeños revela tres cambios de signo, cerca de $x=-24.86$, $x=-2.45$ y $x=2.23$. Una cúbica tiene a lo sumo tres raíces reales, así que las tres son reales y no hay ninguna compleja. Muestrear solo el intervalo $[0,3]$, donde $f(2)=-101.36$ y $f(2.5)=+134.375$, encontraría solo una de ellas.

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   Biseca cada intervalo. Partiendo por la mitad cada intervalo hasta que $|f|<10^{-9}$:

   $x_{1}\approx-24.861705,\qquad x_{2}\approx-2.450227,\qquad x_{3}\approx 2.230411.$

   La raíz negativa grande existe porque el término $92.3x^{2}$ domina hasta $x\approx-25$, donde el término cúbico por fin lo supera: una raíz fácil de pasar por alto sin un barrido amplio.

4. 4

   Contrasta con las fórmulas de Vieta. Para $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ las raíces cumplen $\sum x_{i}=-\tfrac{b}{a}$ y $\prod x_{i}=-\tfrac{d}{a}$:

   $-24.861705-2.450227+2.230411=-25.081522=-\frac{92.3}{3.68} ✓,$

   $(-24.861705)(-2.450227)(2.230411)=135.8695\approx\frac{500}{3.68} ✓.$

   Esta es la prueba decisiva: cualquier terna de raíces propuesta cuya suma no sea $-25.0815$ está mal, tengan el aspecto que tengan los valores individuales.

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   Verifica sustituyendo. $f(-24.861705)=4.5\times10^{-4}$, $f(-2.450227)=-1.6\times10^{-4}$ y $f(2.230411)=5.2\times10^{-5}$ ✓. Redondeadas a cuatro decimales, las raíces son $-24.8617$, $-2.4502$ y $2.2304$; fíjate en que la raíz positiva es $2.2304$, no $2.2307$, así que citar cifras extra a partir de una bisección burda es arriesgado.